高二數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(更新版)
【正文】 ? [分析 ] tanα＝ 3， 即 sinα＝ 3cosα， 結(jié)合sin2α＋ cos2α＝ 1， 解方程組可求出 sinα和cosα；對(duì)于 (2)， 注意到分子分母都是 sinα與 cosα的一次式 ， 可分子分母同除以 cosα化為 tanα的表達(dá)式；對(duì)于 (3)， 如果把分母視作 1， 進(jìn)行 1的代換 ， 1＝ sin2α＋ cos2α然后運(yùn)用 (2)的方法 ， 分子分母同除以 cos2α可化為 tanα的表達(dá)式 ， 也可以將 sinα＝ 3cosα代入 sin2α＋ cos2α＝ 1中求出 cos2α， 把待求式消去 sinα， 也化為 cos2α的表達(dá)式求解 ． [ 解析 ] (1) tan α ＝ 3 ＝sin αc os α0 ， ∴ α 是第一或第三象限角． 當(dāng) α 是第一象限角時(shí)，結(jié)合 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，有 ??????? sin α ＝3 1010c os α ＝1010. 當(dāng) α 是第三象限角時(shí)，結(jié)合 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，有 ??????? sin α ＝－3 1010c os α ＝－1010. (2) 解法一：由 (1) 當(dāng) α 為第一象限角時(shí)， 3sin α － c os α2c os α ＋ sin α＝3 3 1010－10102 1010＋3 1010＝85， 當(dāng) α 為第三象限角時(shí)，同理可得原式＝85. 解法二： ∵ tan α ＝ 3 ， ∴3sin α － c os α2c os α ＋ sin α＝3 tan α － 12 ＋ tan α＝85. ( 3) 解法一：將 ( 1) 的結(jié)果代入得 sin2α － 3sin α c os α 等． ? 3． 應(yīng)用平方關(guān)系時(shí) ， 要特別注意符號(hào)的討論 ． ? 4． 由于平方關(guān)系常常要進(jìn)行數(shù)值的開方運(yùn)算 ， 熟記常見的勾股數(shù)組應(yīng)用起來(lái)很方便 ， 常用的有： 3,4,5； 5,12,13； 7,24,25；8,15,17等 ， 它們的 k倍 (k≠0)也都是 ， 如6,8,10； 15,36,39?? . 5 ．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ，及sin αc os α＝tan α 可根據(jù)單位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)的定義推出． 如圖，角 α 的終邊與單位圓交點(diǎn)為 P ( x ， y ) ，又 x ＝ OM＝ c os α ， y ＝ MP ＝ sin α ， | OP |＝ 1 ， ∴ c os2α ＋ si n2α ＝ 1. 由三角函數(shù)定義可知 tan α ＝y(tǒng)x＝sin αc os α. ? [分析 ] 給出了角 α的余弦值沒(méi)有指出角 α所在的象限，應(yīng)依據(jù)值的符號(hào)確定 α角所在象限，然后分象限討論． [ 例 1] 已知 c os α ＝－ 817 ，求 sin α ， ta n α . [ 解析 ] ∵ c os α ＝－8170 ， ∴ α 是第二或第三象限的角． 若 α 是第二象限角，則 sin α 0. ∴ sin α ＝ 1 － c os2α ＝ 1 －??????－8172＝1517， tan α ＝sin αc os α＝－158. 若 α 是第三象限角，則 sin α 0. ∴ sin α ＝－ 1 － c os2α ＝－1517， tan α ＝sin αc os α＝158. 綜上，若 α 是第二象限角，則 sin α ＝1517， tan α ＝－158. 若 α 是第三象限角，則 sin α ＝－1517， tan α ＝158. [ 點(diǎn)評(píng) ] (1) 若角 α 的象限未確定，需對(duì) α 分象限進(jìn)行討論． (2) 本題解題中常見的錯(cuò)誤是求 sin α 時(shí)忽視符號(hào)的討論，或注意到了分象限討論，應(yīng)用公式 tan α ＝sin αc os α?xí)r，又多加上了符號(hào)： α 是第二象限時(shí)， tan α 0 ， ∴ tan α ＝－sin αc os α. 已知 sin α ＝725，則 ta n α ＝ ________. [ 答案 ] 177。 α 270176。 － 70176。 c os70176。 － c os70176。 [ 解析 ] 原式＝ 1 － sin 2 ( 3601
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