高二數(shù)學三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-18 18:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ， k ∈ Z . ∴ y ＝ s i n ( 2 x ＋π3＋ 2 k π) ＝ si n ( 2 x ＋π3) ． 故將函數(shù) y ＝ si n x 先向左平移π3個單位長度后，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，可得原函數(shù)的圖象． 答案 A 題型三 三角函數(shù)的性質(zhì) 例 3 已知函數(shù) f ( x ) ＝ s i n ( ωx ＋ φ ) ，其中 ω 0 ， |φ |π2. ( 1 ) 若 c o sπ4c o s φ － s i n3 π4si n φ ＝ 0 ， 求 φ 的值 ； ( 2 ) 在 ( 1 ) 的條件下，若函數(shù) f ( x ) 的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π3，求函數(shù) f ( x ) 的解析式；并求最小正實數(shù) m ，使得函數(shù) f ( x ) 的圖象向左平移 m 個單位長度后所對應的函數(shù)是偶函數(shù)． 思維啟迪 利用 誘導公式化簡 → 利用和、差角公式求φ → 求 f ( x ) 的解析式 → 利用奇偶性確定 m 的值． 解 方法一 ( 1 ) 由 c o sπ4c o s φ － s i n3 π4si n φ ＝ 0 得 c o sπ4c o s φ － si nπ4si n φ ＝ 0 ， 即 c o s????????π4＋ φ ＝ 0. 又 |φ |π2， ∴ φ ＝π4. ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 ， f ( x ) ＝ s i n????????ω x ＋π4. 依題意，T2＝π3. 又 T ＝2πω，故 ω ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ si n????????3 x ＋π4. 函數(shù) f ( x ) 的圖象向左平移 m 個單位長度后所對應的函數(shù)為 g ( x ) ＝ s i n????????3 ( x ＋ m ) ＋π4. g ( x ) 是偶函數(shù)當且僅當 3 m ＋π4＝ k π ＋π2( k ∈ Z ) ， 即 m ＝k π3＋π12( k ∈ Z ) ．從而，最小正實數(shù) m ＝π12. 方法二 ( 1) 同方法一． ( 2) 由 ( 1) 得， f ( x ) ＝ s in??????ωx ＋π4. 依題意，T2＝π3. 又 T ＝2πω，故 ω ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ s in??????3 x ＋π4. 函數(shù) f ( x ) 的圖象向左平移 m 個單位后所對應的函數(shù)為 g ( x ) ＝ s in??????3 ( x ＋ m ) ＋π4. g ( x ) 是偶函數(shù)當且僅當 g ( － x ) ＝ g ( x ) 對 x ∈ R 恒成立． 亦即 s in??????－ 3 x ＋ 3 m ＋π4＝ s in??????3 x ＋ 3 m ＋π4對 x ∈ R 恒成立． ∴ s in ( － 3 x ) c os??????3 m ＋π4＋ c os ( － 3 x ) s in??????3 m ＋π4 ＝ s in 3 x c os??????3 m ＋π4＋ c os 3 x s in??????3 m ＋π4， 即 2s in 3 x c os??????3 m ＋π4＝ 0 對 x ∈ R 恒成立． ∴ c os??????3 m ＋π4＝ 0 ，故 3 m ＋π4＝ k π ＋π2( k ∈ Z ) ， ∴ m ＝k π3＋π12( k ∈ Z ) ，從而，最小正實數(shù) m ＝π12. 探究提高 ( 1 ) 求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B 的形式，然后再求解． ( 2 ) 對于形如 y ＝ a s i n ωx ＋ b c o s ωx 型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為 y ＝ a2＋ b2si n ( ωx ＋ φ ) ( c o s φ ＝aa2＋ b2， s i n φ ＝ba2＋ b2) 的形式來求． 變式訓練 3 函數(shù) f ( x ) ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) ＋ B ( A 0 ， ω 0 ， |φ |π2)的圖象上一個最高點的坐標為 (π12， 3) ，與之相鄰的一個最低點的坐標為 (7π12，－ 1) ． ( 1 ) 求 f ( x ) 的表達式； ( 2 ) 當 x ∈ [π2， π] 時，求函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間和零點． 解 ( 1 ) 依題意得T2＝7π12－π12＝π2，所以 T ＝ π. 于是 ω ＝2 πT＝ 2. 由????? A ＋ B ＝ 3 ，－ A ＋ B ＝－ 1 ，解得????? A ＝ 2 ，B ＝ 1. ∴ f ( x ) ＝ 2 si n ( 2 x ＋ φ ) ＋ 1. 把 (π12， 3) 代入 f ( x ) ＝ 2 si n ( 2 x ＋ φ ) ＋ 1 ， 可得 s i n (π6＋ φ ) ＝ 1 ， 所以π6＋ φ ＝ 2 k π ＋π2( k ∈ Z ) ． 所以 φ ＝ 2 k π ＋π3( k ∈ Z ) ． 因為 |φ |π2， 所以 φ ＝π3. 綜上 ， f ( x ) ＝ 2 s i n ( 2 x ＋π3) ＋ 1. ( 2 ) 又 ∵ x ∈ [π2， π ] ， ∴4 π3≤ 2 x ＋π3≤7 π3. 令3 π2≤ 2 x ＋π3≤7 π3， 得7 π12≤ x ≤ π
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