高二數(shù)學(xué)直線(xiàn)與平面所成的角(編輯修改稿)
2024-12-18 18:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 】 在解答本題過(guò)程中，易出現(xiàn)所求角為 150176。 的錯(cuò)誤，導(dǎo)致該種錯(cuò)誤的原因是忽視了直線(xiàn)與平面的法向量的夾角和直線(xiàn)與平面夾角的區(qū)別． 自我挑戰(zhàn) 1 如圖，在體積為 1的直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ ACB＝ 90176。 ， AC＝ BC＝ 1，求直線(xiàn) A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值． 解： 由題意，可得 V A B C A 1 B 1 C 1 ＝ CC 1 S △ ABC ＝ CC 1 12 AC B C ＝12CC 1 ＝ 1 ， ∴ CC 1 ＝ 2. 如圖，分別以 CA 、 CB 、 CC 1 所在直線(xiàn)為 x 軸、 y軸、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得點(diǎn) B ( 0 , 1 , 0 ) ，C 1 ( 0 , 0 , 2 ) ， A 1 ( 1 , 0 ， 2) ，則 A 1 B→＝ ( － 1 , 1 ，－ 2) ， 平面 BB 1 C 1 C 的法向量為 n ＝ ( 1 , 0 , 0 ) ． 設(shè)直線(xiàn) A1B 與平面 BB1C1C 所成的角為 θ ， A1B→與n 的夾角為 φ ， 則 c o s φ ＝A1B→ n| A1B→| | n |＝－66， ∴ s in θ ＝ | c o s φ |＝66. 即直線(xiàn) A1B 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值是66. 求平面與平面所成的角 利用向量法求二面角的步驟： (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量； (3)求出兩個(gè)法向量的夾角； (4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角； (5)確定出二面角的平面角的大?。? (2020年高考天津卷 )如圖 ， 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中 ， E， F分別是棱 BC， CC1上的點(diǎn) ， CF＝ AB＝ 2CE， AB∶ AD∶ AA1＝ 1∶ 2∶ 4. (1)求異面直線(xiàn) EF與 A1D所成角的余弦值； (2)證明： AF⊥ 平面 A1ED； (3)求二面角 A1EDF的正弦值 ． 例 2 【 思路點(diǎn)撥 】 解答本題首先建立空間坐標(biāo)系 ，寫(xiě)出一些點(diǎn)的坐標(biāo) ， 再利用向量法求解 ． 【 解 】 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè) AB＝ 1，依題意得 D(0,2,0)， F ( 1 , 2 , 1 ) ， A1( 0 , 0 , 4 ) ， E ( )1 ，32， 0 . ( 1 ) 易得 EF→＝ ( )0 ，12， 1 ， A1D→＝ ( 0 , 2 ，－ 4) ，于是 c o s〈 EF→，A1D→〉＝EF→ A1D→| EF→|| A1D→|＝－35. 所以異面直線(xiàn) EF 與 A1D 所成角的余弦值為35. ( 2 ) 證明： 易知＝ ( 1 , 2 , 1 ) ，＝????－ 1 ，－32， 4 ， ＝????－ 1 ，12， 0 ，于是 ＝ 0 ， ＝ 0. 因此， AF ⊥ EA 1 ， AF ⊥ ED . 又 EA 1 ∩ ED ＝ E ，所以 AF ⊥ 平面 A 1 ED . ( 3 ) 設(shè)平面 EFD 的法向量 u ＝ ( x ， y ， z
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