北京理工大學(xué)概率論16講(編輯修改稿)
2025-09-12 01:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 異而引起的誤差 . 每發(fā)炮彈外形上的細(xì)小差別引起空氣阻力不同，由此出現(xiàn)的誤差 炮彈在前進(jìn)時(shí)遇到的空氣氣流的微小擾動(dòng)而造成的誤差 而誤差 X（或 Y）是這許多彼此間相互獨(dú)立的隨機(jī)小誤差的總和，即 等等許多原因，每種原因引起一個(gè)微小的誤差，有的為正，有的為負(fù)，都是隨機(jī)的 ???nkkXX1一般認(rèn)為它服從正態(tài)分布。 以下我們從數(shù)學(xué)上來(lái)研究這種隨機(jī)變量之和的分布 例 2. 設(shè) X1,…, Xn 是 n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 ,其共同分布為 U(0, 1)，求 X1+X2 ， X1+X2+X3，的分布 。 X1 ~f(x)， E(X1)=, ?2(X1)= X1 +X2~g(x), E(X1+X2)=1, ?2(X1+X2)=2? X1 +X2+X3~ h(x) E(X1 +X2+X3)=, ?2(X1 +X2+X3)=3? 幾個(gè) (0,1)上均勻分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 考慮 ?? ??? ???nkknknkkknXDXEXZ11 1)()(取值的概率 . 可以證明，滿(mǎn)足一定的條件時(shí)，上述和的分布函數(shù)的極限是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 . }{lim 1 xnnXPniin?????? ??定理 1（ 列維一林德伯格 Levy－ Lindberg） ? ??x2t dte21 2? 設(shè) X1, X2 , … 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 E(Xi)=? ， D(Xi)=? 2 0 ， i=1,2,… ，則 )(x??當(dāng) n 較大時(shí) 近似服從正態(tài)分布 N(0, 1) 21??nnXZnkkn????? 利用該定理 , 可以進(jìn)行如下計(jì)算 : )(1????nkkXP ??)( 1????????nnnnXnnPnkk ????????)()(??????nnnn ???????? nZnX nnkk ???? 1近似服從正態(tài)分布 N(n? , n? 2) (1) 利用該定理，當(dāng) n 較大時(shí) ? 利用該定理 , 可以得到如下近似分布 : (2) 特別地 , 當(dāng) n 較大時(shí) , ???nkkXnX11近似服從正態(tài)分布 N(? , ? 2/n) 定理 2 (棣莫佛－拉普拉斯定理） })1({lim xpnpnpYP nn?????dtex t? ???? 2221?)(x??證明 : 設(shè) Yn 是 n 重貝努里試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的 次數(shù)， p (0p1)是一次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率，則對(duì)任意 x，有 niAiAiXi ,...,
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