【文章內容簡介】 狀態(tài) xe 是不穩(wěn)定的。216。如果 A的特征值中，雖然沒有實部為正的，但有為零的，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe 的穩(wěn)定性要由高階導數項 G(y)來決定。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析解得系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)為例 已知非線性系統(tǒng)其中 u=U=常數，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解 : 先求系統(tǒng)可能的平衡狀態(tài)。由中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析為將坐標原點移到平衡狀態(tài) xe，取新的狀態(tài)變量為則得給定非線性系統(tǒng)新狀態(tài)方程為中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析計算得給定非線性方程在其平衡狀態(tài)附近的一次近似方程為中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析該近似方程的特征方程為① 當 　　　時，系統(tǒng)在 xe漸近穩(wěn)定；② 當 　　　時，系統(tǒng)在 xe不穩(wěn)定；③ 如果 　　 ，其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。返回中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 李雅普諾夫第二方法　 　 李雅普諾夫第二方法又稱 直接法 ，其基本特點是不必求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，就能對其在平衡點處的穩(wěn)定性進行分析和做出判 斷 ，且這種判斷是準確的，而不包含近似。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析能量函數216。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論建立了系統(tǒng)能量與穩(wěn)定性之間的關系。216。如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當它轉移到該平衡狀態(tài)的鄰域內時，系統(tǒng)所具有的能量隨著時間的增加而逐漸減少，直到在平衡狀態(tài)達到最小值。需要有一個抽象的能量函數來描述系統(tǒng)的虛擬能量。216。能量函數：狀態(tài)和時間的標量函數。216。此能量函數稱為 李雅普諾夫函數 ，記作 V(x,t) 。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析通過分析系統(tǒng)能量的變化來確定系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性！對一個給定的系統(tǒng)，如果能夠找到一個正定的標量函數，它沿著軌跡對時間的導數總是負值，則隨著時間的增加， V(x)將取越來越小的值，隨時間的進一步增加， 最終將導致 V(x)變?yōu)榱悖?x也變?yōu)?零 。這意味著狀態(tài)空間的原點是漸近穩(wěn)定的。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析定理 　 假設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個具有連續(xù)偏導數的標量函數（ 李雅普諾夫函數 ） V(x,t)， 并且滿足條件：1） V(x,t) 是正定的；2） 　 是負定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是 一致漸近穩(wěn)定 的。如果 隨著 ，有 則在原點處的平衡狀態(tài)是 大范圍漸近穩(wěn)定 的。V(x,t)對時間 t的導數中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析定理 對于系統(tǒng)那么系統(tǒng)在原點處是 一致漸近穩(wěn)定 的。如果存在一個標量函數 V(x,t)，并且滿足條件1） V(x,t) 是正定的；2） 　 是半負定的。對任意 t0和3）在 時不恒等于零。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析如果 隨著 ，有 則在原點處的平衡狀態(tài)是 大范圍漸近穩(wěn)定 的。表示在 t0時從 x0出發(fā)的解。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析定理 系統(tǒng)狀態(tài)方程則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是 一致穩(wěn)定 的。如果存在一個標量函數 V(x,t)，它具有連續(xù)的一階偏導數，并且滿足條件1） V(x,t) 是正定的；2） 　 是半負定的。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) x=0是不穩(wěn)定的，那么就存在一個標量函數 W(x,t)，并可以 W(x,t)來確定平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性。注意：　 　 的 半 負定表示原點是 一致穩(wěn)定 的，但未必是一致漸近穩(wěn)定 的。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析定理 系統(tǒng)狀態(tài)方程則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是 不穩(wěn)定 的。如果存在一個標量函數 W(x,t)，它具有連續(xù)的一階偏導數，并且滿足條件1） W(x,t) 在原點的某一鄰域內是正定的；2） 　 在同樣的鄰域中是正定的。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析例 已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。解 : 顯然，原點 　　 是唯一 平衡點取 　　　　　　，則又因為當　 　 　 時，有 所以系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析例 已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。解 : 系統(tǒng)具有唯一的平衡點 取 則因為除原點處外， 不會恒等于零。所以系統(tǒng)在其原點處大范圍漸近穩(wěn)定。當 時，中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析例 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解 : 系統(tǒng)具有唯一的平衡點 取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。返回中南大學信息科學與工程學院自動化專業(yè)現代控制理論講義第五章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 幾點說明1）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數不是 唯一 的。2）對于非線性系統(tǒng)能給出關于在 大范圍內穩(wěn)定性的信息