航天器的軌道與軌道力學(xué)(編輯修改稿)
2024-09-12 00:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 航天器的軌道 第一宇宙速度 第二宇宙速度 V1V1 V2 軌道的幾何性質(zhì) 1．圓錐曲線軌道的幾何參數(shù) 圓錐曲線軌道包括圓、橢圓、拋物線和雙曲線 4種類型的軌道。圖 2． 8給出了各種圓錐曲線軌道共同的一些幾何參數(shù)和關(guān)系。 圖 2． 8 圓錐曲線共同的幾何參數(shù) 除了拋物線之外 ， 所有的圓錐曲線均有偏心率 (229) 和 (230) cea?2(1 )p a e??2． 軌道的近拱點(diǎn)和遠(yuǎn)拱點(diǎn) 軌道長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)稱為拱點(diǎn)，離主焦點(diǎn)近的稱為近拱點(diǎn)，離主焦點(diǎn)遠(yuǎn)的稱為遠(yuǎn)拱點(diǎn)。 主焦點(diǎn)至近拱點(diǎn)或遠(yuǎn)拱點(diǎn) (若存在的話 )的距離，只須在極坐標(biāo)圓錐曲線的一般方程式 (2． 28)中以 v=0o或v=180o代入即可求得。于是對(duì)任何圓錐曲線有 近拱點(diǎn) 遠(yuǎn)拱點(diǎn) 將式 (2． 30)代人上兩式即得 m a x 1 c o s 1 8 0 ppr r re?? ?近拱m in 1 c o s 0 ppr re?近拱m in 1 c o s 0 pprre? ?m a x 1 c o s 0 aprre? ? () () 另外 ， 在任何圓錐曲線軌道的近拱點(diǎn)或遠(yuǎn)拱點(diǎn) (若存在 )處 ， 總有 所以作為方程式 (2． 25)的一個(gè)特殊情況 ， 可以寫(xiě)出 () 式中 , ,分別為兩個(gè)拱點(diǎn)的速度 rv?(1 )1p pr a ee? ? ??(1 )1a pr a ee? ? ??p p a ah r v r v??pvavp p a avvvv??3． 軌道形狀與比機(jī)械能 對(duì)近拱點(diǎn)寫(xiě)出航天器的能量方程式 (2． 23)， 并將式 (2． 33)代人其中 ， 得 根據(jù)方程式 (2． 30)和 有 因此 由此得 (234) 22222ppvhr r r??? ? ? ? ?2 /ph ??22(1 )h a e???222( 1 )2 ( 1 ) ( 1 )aea e a e??? ?????2 a?? ?? 對(duì)所有圓錐曲線軌道均成立的這個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系式表明 ， 軌道的長(zhǎng)半軸 a僅與航天器的比機(jī)械能 有關(guān) 。 進(jìn)一步說(shuō) ， 僅與軌道上任一點(diǎn)的 r和 v有關(guān) ， 即 圓和橢圓軌道： aO， 航天器的比機(jī)械能 O； 拋物線軌道： a=∞ ， 航天器的比機(jī)械能 =O； 雙曲線軌道： aO， 航天器的比機(jī)械能 0。 因此，僅由航天器比機(jī)械能的符號(hào)就可以確定航天器處在哪種類型的圓錐曲線軌道內(nèi)。 ????? 進(jìn)一步地，由于 以及式 ()和 ()成立，因此對(duì)任何圓錐曲線軌道均有 (2． 35) 可見(jiàn)， h單獨(dú)決定了 p，而 單獨(dú)決定了 a，它們共同決定了 e，即確定了圓錐曲線軌道的具體形狀?？紤]到 且對(duì)于一般航天器而言， rO， vO，所以航跡角 (0≤ ≤180 o)的取值決定了 h的符號(hào)。 當(dāng) ≠ 90o時(shí)，即 h≠O 時(shí)， 若 O，則 e1，為橢圓和圓軌道； 若 =O，則 e=1，為拋物線軌道； 若 0，則 e1，為雙曲線軌道。 2 /ph ??2221 he ?????cosh rv ???????? 當(dāng) =90o，即 h=O時(shí)，無(wú)論 取值如何， e=1。此時(shí)，航天器的軌道是一條通過(guò)中心引力體質(zhì)心和航天器當(dāng)前位置的直線，也是一種退化的圓錐曲線。 ? ? 橢圓軌道 太陽(yáng)系所有行星的軌道和所有圍繞天體運(yùn)動(dòng)的航天器的軌道都是封閉曲線 ——橢圓 。 首先考察一下僅對(duì)橢圓軌道適用的幾何特性 ， 然后再推導(dǎo)航天器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和速度 。 圖 的方法 ， 以及橢圓軌道參數(shù)之間的關(guān)系 。 觀察可知 ， 橢圓上任何一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和恒滿足 并且橢圓軌道近拱點(diǎn)半徑 和遠(yuǎn)拱點(diǎn)半徑 與橢圓的幾何參數(shù)之間有如下關(guān)系： (2． 36) (2． 37) 可得 (2． 38) 若將橢圓的短半軸記作 b， 則有 (2． 39) 2r r a???pr ar2apr r a??2apr r c??apaprrcea r r????2 2 2a b c?? 接著考察橢圓軌道周期 。 由圖 ， 航天器速度的水平分量為 ，也可以寫(xiě)成 ， 根據(jù)方程式 (2． 25)， 可將航天器的比角動(dòng)量表示為 即 () 由初等微積分知道 ， 矢徑轉(zhuǎn)過(guò)一角度 時(shí) ， 所掃過(guò)的面積微元 dA可由下式給出 (見(jiàn)圖 2． 11) () osvc ?rv2rdh dt??2dt dAh?d?212d A r d??于是 ， 可以將式 (2． 41)改寫(xiě)為 () 對(duì)于任何給定的軌道 ， h為一常數(shù) ， 所以式(2． 42)證明了開(kāi)普勒第二定律： “ 相等的時(shí)間間隔內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積相等 。 ” 2dt dAh?在一個(gè)軌道周期內(nèi) ， 矢徑掃過(guò)整個(gè)橢圓 。 對(duì)式 (2． 42)在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行積分得出 (243) 這里 為整個(gè)橢圓的面積 ， T為周期 。 由式 (2． 39)、(229)和 (230)得到 且 ， 所以 (244) 由此可見(jiàn) ， 橢圓軌道的周期僅與長(zhǎng)半軸的大小有關(guān) 。 式(2． 44)也附帶證明了開(kāi)普勒第三定律： “ 周期的平方與橢圓軌道長(zhǎng)半軸的立方成正比 ” 。
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