密度矩陣相關(guān)計(jì)算(編輯修改稿)
2025-09-11 21:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，相應(yīng)的本征值就是權(quán)重 ，即 ?i?| ip??? iii p ??? ||? （ 26） 證明 ? | | |||i j j j ijj j ij i jjppp? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? （ 27） 筆誤： (27)中最后一個(gè) j應(yīng)矯正為 i 約化密度算符 在處理實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到這樣的情況，對(duì)于一個(gè)大的量子體系而言， 我們感興趣的物理量只與體系的一部分有關(guān)。例如，在粒子 1與粒子 2構(gòu)成的體系 中，只需要求出粒子 1的某力學(xué)量 F（ 1） 的平均值。這時(shí)，問題可以進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化。 設(shè)粒子 1和粒子 2的基矢分別為 與 ，則兩粒子體系的態(tài)矢的一 般形式為 ? ??m?| ? ??n?|???? ? nmmnmnc ??? |||（ 28） 為了保證 是歸一化的態(tài)矢，要求展開系數(shù)滿足： ??|12 ??mnmnc（ 29） 若 為純態(tài)時(shí)，體系的密度算符為 ? ? ????????ijnmmnijjmni cc ||||||* ???????（ 30） ??|如果求粒子 1的某力學(xué)量 F(1) 的平均值，由（ 11）式可知 ???????????????????????????????? ?? ??mnnniimimnmnmniiimnmnmjiijjinmnmnmnmFFFFFTrF?????????????????????????????||?|||?|||?|||?|||?||||?||||??||)??()1()1()1()1()1()1(（ 31） 第三個(gè)等號(hào)后插入了一個(gè)單位矩陣。第四個(gè)等號(hào)后利用了上式：兩粒子態(tài)函數(shù) 可以重新排序。并矢。 |||||||| jjiij ijiij ji???????? ????????? ??如果求粒子 1的某力學(xué)量 F(1) 的平均值，由（ 11）式可知 （ 31） 第三個(gè)等號(hào)后插入了關(guān)于第一個(gè)粒子的單位矩陣， 第四個(gè)等號(hào)成立 是因?yàn)槌?shù)項(xiàng)可以移動(dòng) (不插入粒子 1的單位陣不可以移動(dòng)！因?yàn)樗惴?F要作用于第 一個(gè)粒子 )。第五個(gè)等號(hào)后的 n表示第二個(gè)粒子的函數(shù)序號(hào) || ii i?? ???上頁(yè)比較難理解，現(xiàn)將上頁(yè) PPT修改為如下： ?????????????????????????????? ?? ??mnnniimimnmnmniiimnmnmiiinmnmnmnmFFFFFTrF???????????????????????????||?|||?|||?|||?|||?||?||||??||)??()1()1()1()1()1()1(令 ????? ?|?|? )2()1( Trnnn ???? ?（ 32） 其中， 表示只對(duì)粒子 2取跡，取跡之后的 仍為粒子 1空間中的算符，稱 之為粒子 1的約化密度算符。于是， F (1) 的平均值可寫為： ??)2(Tr )1(??]??[|?||?| )1()1()1()1()1()1( ?????? FTrFF miimim ?????? ?（ 33） 最后一個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)槿コ饲斑叺年P(guān)于第一個(gè)粒子的單位矩陣。此時(shí)后邊的 m表示第一個(gè)粒子的波，所以可以直接去除這個(gè)單位矩陣。上式可修改如下： ]??[|??||?||?|)1()1()1()1()1()1()1()1(?????????FTrFFFmmimmiimim???????????應(yīng)用舉例 例 1 自旋為 的粒子，分別處于如下的純態(tài)與混合態(tài)上： 2/?????????????????????43。|41。||23|21|pp?純態(tài)為 混合態(tài)為 （ 34） （ 35） 利用密度算符方法在此兩種狀態(tài)上分別計(jì)算 的平均值。 zyx sss ??,? ,解 對(duì)于純態(tài)而言，在 sz表象中，其矩陣形式為： ??????????????2321| ? （ 36） 相應(yīng)的密度矩陣為： ?????????????????????????????????????4343434123212321|| ??? （ 37） 利用公式（ 11）可以求出自旋個(gè)分量的平均值為： ???43
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