【文章內(nèi)容簡介】 這表明 是一個 維標準正交列向量組。 定理的證明 ： 必要性：因 ，故 有 個線性無關(guān)的列向量，將這 個列向量用 Schmidt方法得出 個兩兩正交的單位向量，以這 個向量為列構(gòu)成一個 型次酉矩陣 1( , ) ( ) {0Ti j j iijij? ? ? ?????? ?12, , , r? ? ? nr a n krA? A rrr rnr?Ar 。注意到 的 個列向量都可以由 的 個列向量線性表出。即如果 那么可得 nU? ?1212[ , , , ] , , ,nrrrnUUA? ? ?? ? ?????nrrUU ??1 2 1 211 21 112 22 212[ , , , ] [ , , , ]nrnn Hr r nrAC C CC C CUVC C C? ? ? ? ? ????????????????其中 11 12 121 22 212rr nrn n nrC C CC C CVCC C C???????????????，由于向量組 的秩為 ，所以 的秩為 。 rr12, , , n? ? ?HV下面證明 。 由 可得 ，即 注意到 ，所以 VU?2HA A A?? HA A A?H H HU V V U U V?HrrU U I ??HHU V V V?即 因為 ，所以 ，這樣得到 于是 ( ) 0HU V V??r a nk( )HVr? ran k ( ) 0UV??UV?HA U U?充分性：若 ，則 HA U U? 2HA A A??Schur引理與正規(guī)矩陣 定義： 設(shè) ，若存在 ，使得 則稱 酉相似 (或 正交相似 )于 定理 (Schur引理 )： 任何一個 階復(fù)矩陣 酉相似于一個上 (下 )三角矩陣。 , ( )n n n nA B C R??? 或 nnUU ??()nnE ?或11 ()HTU A U U A U B U A U U A U B??? ? ? ?或A BAn證明： 用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為 1時定理顯然成立。現(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時定理成立，考慮 的階數(shù)為 時的情況。 取 階矩陣 的一個特征值 ，對應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ， AAA1k?kkkA1? 1?1?1 1 2[ , , , ]kU ? ? ??1 1 21 1 2[ , , , ][ , , , ]kkA U A A AAA? ? ?? ? ? ???因為 構(gòu)成 的一個標準正交基，故 12, , , k? ? ?kC1( 2 , 3 , , )ki i j jjA a i k??????，因此 1 2 1 3 1 11 1 210[ , , , ]0kka a aAUA?? ? ??????????其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足 1k?1k?1AW11HW A W R?(上三角矩陣 ) 令 那么 21 kkUUW?????????1 2 1 12 1 1 2100kHHbbU U A U UR??????????????注意 : 等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣 的全部特征值 . 定理 (Schur不等式 ): 設(shè) 為矩陣 的特征值 , 那么 例 : 已知矩陣 A12, , , ,nnnAC ? ? ???A221,ni iji i ja?????3 0 83 1 62 0 5A??????????????試求酉矩陣 使得 為上三角矩陣 . 解 : 首先求矩陣 的特征值 U HU A UA3( 1 )IA??? ? ?所以 為矩陣 的三重特征值 . 當 時 , 有單位特征向量 再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個單位解向量 1? ?? A1? ?? A12 1 1,666T????? ????1 2 320x x x? ? ? ?2333,333T???? ????再解與 內(nèi)積為零的方程組 求得一個單位解向量 取 12,??1 2 31 2 3200x x xx x x? ? ? ?? ? ?3220 , ,22T????? ????1230361 3 23261 3 2326U??????????? ????????????計算可得 117 2 7 31235604356062HU A U?? ???????????????? ????????令 156435662A???????????????再求矩陣 的特征值 所以 為矩陣 的二重特征值 . 當 時 , 有單位特征向量 1A21 ( 1 )IA??? ? ?1? ??1A1? ??1A11 0 1 5,55T????? ????再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個單位解向量 121 0 1 5 0xx? ? ?21 5 1 0,55T???? ????取 計算可得 11 0 1 5551 5 1 055V??????????????1 1 125 61601HV A V?? ????????????21 0 010 1505515 10055U????????????????????令 于是有 122 30 515 561 300661 30 2 530 56W U U????????????? ????????????則 1 0 7 3 0 / 60 1 2 5 6 / 60 0 1HW A W??????? ? ??????????矩陣 即為所求的酉矩陣 . 正規(guī)矩陣 定義 : 設(shè) , 如果 滿足 WnnAC ?? AHHA A A A?那么稱矩陣 為一個 正規(guī)矩陣 . 設(shè) , 如果 同樣滿足 那么稱矩陣 為一個 實正規(guī)矩陣 . 例 : (1) 為實正規(guī)矩陣 AnnAR ?? AHHA A A A?A1111???????a b c db a d cc d a bd c b a?????????????????? (2) 其中 是不全為零的實數(shù) , 容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣 . , , ,a b c d (3) 這是一個正規(guī)矩陣 . (4) H陣 , 反 H陣 , 正交矩陣 , 酉矩陣 , 對角矩陣都是正規(guī)矩陣 . 正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i ii i iii? ? ?????? ? ? ?? ? ?????引理 1 : 設(shè) 是一個正規(guī)矩陣 , 則與 酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣 . 引理 2 : 設(shè) 是一個正規(guī)矩陣 , 且又是三角矩陣 , 則 必為對角矩陣 . 由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理 定理 : 設(shè) , 則 是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣 使得 A AAAnnAC ?? AU12HnU A U????????????????其中 是矩陣 的特征值 . 推論 1 : 階正規(guī)矩陣有 個線性無關(guān)的特征向量 . 12, , , n? ? ?Ann推論 2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交 . 例 1 : 設(shè) 求正交矩陣 使得 為對角矩陣 . 解 : 先計算矩陣的特征值 3 2 42 0 24 2 3A???????????Q 1Q A Q?2( 1 ) ( 8 )IA? ? ?? ? ? ?其特征值為 對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 現(xiàn)在將 單位化并正交化 , 得到兩個標準正交向量 1 2 31 , 8? ? ?? ? ? ?1 1? ??( ) 0I A X? ? ?? ? ? ?12 1 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1TTXX? ? ? ?12,XX121 2 4 2 5, , 0 , , ,35 5 3 5 2 5TT?????????? ?????? ??對于特征值 解線性方程組 求得其一個基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個單位向量 2 8? ?( 8 ) 0I A X??? ?3