【正文】 它完全是由 決定的與 無(wú)關(guān) 。令 ，那么 是特征方程 12, , , n? ? ?nP11HQ P A P? i?0IQ? ??的特征根。 證明 ： 由于 是正定 H陣，所以存在 使得 又由于 也是 H陣，那么存在 使得 12, , , n? ? ?PB1nnnPC??11HnnP B P I ??11HP A P2nnnPU??11HP A P122 1 1 2HHnP P A P P????????????????其中 是 H陣 的 個(gè)實(shí)特征值。A39。又由于 故 的根全為正實(shí)數(shù)。 ,AB12, , , nx x x( ) ( )0HHHf X X A B XX A X X B X??? ? ?AB?例 4 : 設(shè) 都是 階正定 H陣，則 的根全為正實(shí)數(shù)。 證明 ：設(shè) 都是半正定 H陣，那么二者之和 仍然是一個(gè) H陣，其對(duì)應(yīng)的 Hermite二次型為 其中 ,ABAB?12( ) ( ) ,( , , , )HTnf X X A B XX x x x???由于 都是半正定 H矩陣，所以對(duì)于任意一組不全為零的復(fù)數(shù) 我們有 這說(shuō)明 為一個(gè)半正定 H陣。 H矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的 . (2) 反 H矩陣的特征值為零或純虛數(shù) . (3) 酉矩陣的特征值模長(zhǎng)為 1. 定理 : 設(shè) 是正規(guī)矩陣 , 則 (1) 是 H陣的充要條件是 的特征值為實(shí)數(shù) . AAA (2) 是反 H陣的充要條件是 的特征值的實(shí)部為零 . (3) 是 U陣的充要條件是 的特征值的模長(zhǎng)為 1 . 注意 : 正規(guī)矩陣絕不僅此三類(lèi) . 例 4 : 設(shè) 是一個(gè)反 H陣 , 證明 : 是 U陣 . 證明 : 根據(jù) U陣的定義 AAA1( ) ( )W A I A I ?? ? ?AA11( ) ( ) [ ( ) ] ( )H H HW W A I A I A I A I??? ? ? ? ?由于 是反 H陣 , 所以 , 這樣 于是可得 A () HA I A I? ? ? ?11[ ( ) ] ( )HA I A I??? ? ? ?11111111( ) ( ) [ ( ) ] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ] ( )( ) [ ( ) ( ) ] ( )( ) ( ) ( ) ( )H H HHW W A I A I A I A IA I A I A I A IA I A I A I A IA I A I A I A IA I A I A I A II????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??這說(shuō)明 為酉矩陣 . W例 5 : 設(shè) 是一個(gè) 階 H陣且存在自然數(shù) 使得 , 證明 : . 證明 : 由于 是正規(guī)矩陣 , 所以存在一個(gè)酉矩陣 使得 A nk 0kA ? 0A ?nnUU ??A12,HinA U U R??????????????????于是可得 從而 這樣 120kkkHknA U U???????????????????0,kii R????0 , 1 , 2 , ,i in? ??即 Hermite二次型 (Hermite二次齊次多項(xiàng)式 ) Hermite矩陣的基本性質(zhì) 引理 : 設(shè) , 則 (1) 都是 H陣 . 0A ?,H H HA A A A A A?nnAC ?? (2) 是反 H陣 . (3) 如果 是 H陣 , 那么 也是 H陣 , 為任意正整數(shù) . (4) 如果 是可逆的 H陣 , 那么 也是可逆的 H陣 . (5) 如果 是 H陣 (反 H陣 ), 那么 是反 H矩陣 (H陣 ), 這里 為虛數(shù)單位 . (6) 如果 都是 H陣 , 那么 也是 H陣 , 這里 均為實(shí)數(shù) . (7) 如果 都是 H陣 , 那么 也是 H陣的充分必要條件是 HAA?A kAkA 1A?A iAi,AB kA lB?,kl,AB ABA B B A?nnAC ??定理 : 設(shè) , 則 (1) 是 H陣的充分必要條件是對(duì)于任意的 是實(shí)數(shù) . (2) 是 H陣的充分必要條件是對(duì)于任意的 階方陣 為 H陣 . H陣的結(jié)構(gòu)定理 定理 : 設(shè) , 則 是 H陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得 A,nHX C X A X?An , HB B A BnnAC ?? AnnUU ??12HnU A U????????????????其中 , 此定理經(jīng)常敘述為 : H陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣 . 推論 : 實(shí)對(duì)稱陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣 . 12, , , n R? ? ? ?例 : 設(shè) 為一個(gè)冪等 H陣 , 則存在酉矩陣 使得 證明 : 由于 為一個(gè) H陣 , 所以存在酉矩陣 使得 AnnUU ??000rH IU A U ???????AnnWU ??12HnW AW????????????????又由于 為一個(gè)冪等 H陣 , 從而 或 將 1放在一起 , 將 0放在一起 , 那么可找到一個(gè)酉矩陣 使得 A0i? ? 1i? ?nnUU ??000rH IU A U ???????這里 為矩陣 的秩 . Hermite二次型 (Hermite二次齊次多項(xiàng)式 ) 定義 : 由 個(gè)復(fù)變量 , 系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式 Arn 12, , , nx x x1211( , , , )nnn i j i jijf x x x a x x??? ??稱為 Hermite二次型 , 這里 如果記 ij jiaa?? ?1211 12 121 22 212, , ,Tnnnnn n nnX x x x Ca a aa a aAa a a???????????????那么上面的 Hermite二次型可以記為 稱為 Hermite二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 , 并稱 的秩為 Hermite二次型的秩 . 對(duì)于 Hermite二次型作可逆的線性替換 則 12( , , , )Hnf x x x X A X?AX C Y?12( , , , ) ( )H H HnHf x x x X A X Y C A C YY B Y???這里 Hermite二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只含有純的平方項(xiàng)無(wú)交叉項(xiàng)的二次型 我們稱這種形狀的 Hermite二次型為 標(biāo)準(zhǔn)形的 Hermite二次型 . 定理 : 對(duì)于任意一個(gè) Hermite二次型 ,HHB C A C B B??1 2 1 1 1 2 2 2( , , , )n n n nf y y y y y y y y y? ? ?? ? ? ?12( , , , )Hnf x x x X A X?必存在酉線性替換 可以將 Hermite二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是 H矩陣 的特征值 . 進(jìn)一步 , 我們有 定理 : 對(duì)于 Hermite二次型 X U Y?()fx1 1 1 2 2 2() n n nf x y y y y y y? ? ?? ? ? ?12, , , n? ? ?A12( , , , )Hnf x x x X A X?必存在可逆的線性替換 可以將 Hermite二次型 化為 其中 . 我們稱上面的標(biāo)準(zhǔn)形為 Hermite二次型 的 規(guī)范形 . 例 : 寫(xiě)出下面 Hermite二次型的矩陣表達(dá)式 ,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形 . X P Y?()fx1 1 1 1() s s s s r rf x y y y y y y y y??? ? ? ? ? ?()r r a n k A?()fx1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 31 2 3 1 1 1 2 1 3 2 12 3 3 1 3 1 3 3( 1 ) ( , , )( 2 ) ( , , ) ( 1 )( 1 ) 2f x x x i x x x x i x x x xf x x x x x i x x i x x i x xx x i x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?解 : 11 2 3 1 2 3 2301( 1 ) ( , , ) , , 0 01 0 0ixf x x x x x x i xx? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11 2 3 1 2 3 2311( 2 ) ( , , ) , , 0 11 1 2i i xf x x x x x x i xix?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 正定 Hermite二次型與正定 Hermit