【正文】 ) , , 0 01 0 0ixf x x x x x x i xx? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11 2 3 1 2 3 2311( 2 ) ( , , ) , , 0 11 1 2i i xf x x x x x x i xix?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 正定 Hermite二次型與正定 Hermite矩陣 定義 : 對(duì)于給定的 Hermite二次形 如果對(duì)于任意一組不全為零復(fù)數(shù) 都有 1211( ) ( , , , )nnnHij i jijf X f x x xa x x X AX???????12, , , nx x x12( , , , ) 0 ( 0 )nf x x x ??則稱該 Hermite二次形為 正定的 (半正定的 ) , 并稱相應(yīng)的 H矩陣 為 正定的 (半正定的 ) . 例 : 判斷下列 Hermite二次形的類別 A1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 4 8 3f y y y y y y y y y? ? ?1 2 3 2 2 3 3( , , ) 1 2 9f y y y y y y y??1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 7 6f y y y y y y y y y? ? ? ?1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) 4 3f y y y y y y y y y? ? ? ?1 2 3 1 1 3 3( , , ) 6 1 3f y y y y y y y? ? ?與正定的實(shí)二次形一樣 , 關(guān)于正定的 Hermite二次形我們有 定理 : 對(duì)于給定的 Hermite二次形 下列敘述是等價(jià)的 () Hf X X AX? (1) 是正定的 (2) 對(duì)于任何 階可逆矩陣 都有 為正定矩陣 (3) 的 個(gè)特征值都大于零 (4) 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在 階可逆矩陣 使得 (6) 存在正線上三角矩陣 使得 , 且此分解是唯一的 . 例 1 : 設(shè) 是一個(gè)正定的 H陣 , 且又是酉矩陣 , 則 證明 : 由于 是一個(gè)正定 H陣 , 所以必存在 ()fXn P HP APA nn PHP A P I?n Q HA Q Q?R HA R R?AAI?A酉矩陣 使得 由于 又是酉矩陣 , 所以 12,0HinA U U R??????????? ? ???????nnUU ??A1i? ?這樣必有 , 從而 例 2 : 設(shè) 是一個(gè)正定的 H陣 , 是一個(gè)反 H陣 , 證明 : 與 的特征值實(shí)部為零 . 證明 : 設(shè) 為矩陣的任意一個(gè)特征值 , 那么有 . 由于 是一個(gè)正定 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 將其代入上面的特征多項(xiàng)式有 1i? ? AI?A BAB BA?0I A B? ?? AQHA Q Q?1110( ) ( )()HH H H H HH H HHI AB I Q QBQ Q Q QBQ I QBQ QI QBQ????????? ? ? ???????這說(shuō)明 也是矩陣 的特征值 . 另一方面注意矩陣 為 H反陣 , 從而 實(shí)部為零 . 同樣可以證明另一問(wèn) . ? HQ B QHQ B Q ?例 3 : 設(shè) 是一個(gè)正定的 H陣 , 是一個(gè)反 H陣 , 證明 : 是可逆矩陣 . 證明 : 由于 是一個(gè)正定 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 這表明 是可逆的 . 于是 另一方面注意矩陣 仍然為正定 H陣 , 而矩陣 為 H反陣 , 由上面的例題結(jié)論可知 A BAB?AQHA Q Q?A11A B A A A B A I A B??? ? ? ? ?1A?B矩陣 的特征值實(shí)部為零 , 那么矩陣 的特征值中不可能有零 , 從而 1AB ?1I A B ??1 0I A B ???定理 : 對(duì)于給定的 Hermite二次形 下列敘述是等價(jià)的 : (1) 是半正定的 () Hf X X AX?()fX(2) 對(duì)于任何 階可逆矩陣 都有 為半正定矩陣 (3) 的 個(gè)特征值全是非負(fù)的 (4) 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在秩為 的 階矩陣 使得 n P000rH IP A P ???????A nn PHP APHA Q Q?r n Q定理 : 設(shè) 是正定 (半正定 )Hermite矩陣 , 那么存在正定 (半正定 ) Hermite矩陣 使得 例 1 : 設(shè) 是一個(gè)半正定的 H陣且 證明 : 證明 : 設(shè) 為 的全部特征值 ,由于 是半正定的 , 所以 . 于是有 AH2AH?A 0A ?1AI??12, , , n? ? ?AA 0i? ?12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1nAI ? ? ?? ? ? ? ? ?例 2 : 設(shè) 是一個(gè)半正定的 H陣且 是一個(gè)正定的 H陣 , 證明 : 證明 : 由于 是一個(gè)正定的 H陣 , 所以存在可逆矩陣 使得 這樣有 0A ?BA B B??AQBHB Q Q?1111()()H H HHA B A Q Q Q Q A Q I QB Q A Q I????? ? ? ? ???注意矩陣 仍然是一個(gè)半正定的 H陣 , 有上面的例題可知 從而 11()HQ AQ??11( ) 1HI Q A Q????11() HA B B Q A Q I B??? ? ? ?例 3 : 證明： （ 1） 半正定 H矩陣之和仍然是半正定的 。 （ 2） 半正定 H矩陣與正定 H陣之和和是正定的 。 證明 ：設(shè) 都是半正定 H陣，那么二者之和 仍然是一個(gè) H陣，其對(duì)應(yīng)的 Hermite二次型為 其中 ,ABAB?12( ) ( ) ,( , , , )HTnf X X A B XX x x x???由于 都是半正定 H矩陣，所以對(duì)于任意一組不全為零的復(fù)數(shù) 我們有 這說(shuō)明 為一個(gè)半正定 H陣。 類似地，可以證明另外一問(wèn)。 ,AB12, , , nx x x( ) ( )0HHHf X X A B XX A X X B X??? ? ?AB?例 4 : 設(shè) 都是 階正定 H陣，則 的根全為正實(shí)數(shù)。 證明 ：因?yàn)? 是正定的，所以存在可逆矩陣 使得 另一方面注意到 是一個(gè)正定 H陣，從而有 ,AB n0BA? ??BnnnPC??HP B P I?HP A P0HI P A P? ??的根全為正實(shí)數(shù)。又由于 故 的根全為正實(shí)數(shù)。 定理 : 設(shè) 是一個(gè)（半）正定 H陣，那么必存在唯一的一個(gè)（半）正定 H陣 ，使得 H H HHI P A P P B P P A PP B A P???? ? ???0BA? ??A39。A39。2()AA? Hermite矩陣偶在復(fù)合同（復(fù)相合） 下的標(biāo)準(zhǔn)形 例 ： 設(shè) 均為 階 Hermite陣 ,且 又是正定的，證明必存在 使得 n,AB BnnnPC??12HnP AP????????????????HnnP B P I ??與 同時(shí)成立，其中 是與 無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)。 證明 ： 由于 是正定 H陣，所以存在 使得 又由于 也是 H陣，那么存在 使得 12, , , n? ? ?PB1nnnPC??11HnnP B P I ??11HP A P2nnnPU??11HP A P122 1 1 2HHnP P A P P????????????????其中 是 H陣 的 個(gè)實(shí)特征值。 如果記 ，則有 12, , , n? ? ?n12P P P?12,HHnP A P P B P I?????????????????下面證明 個(gè)實(shí)特征值 與 無(wú)關(guān)。令 ，那么 是特征方程 12, , , n? ? ?nP11HQ P A P? i?0IQ? ??的特征根。又由于 因此 是方程 的根。它完全是由 決定的與 無(wú)關(guān) 。 由此可以得到下面的 H陣偶標(biāo)準(zhǔn)形定理： 1 1 1 111HHHI Q P BP P APP B A P???? ? ???i?0BA? ??,AB P定理 ：對(duì)于給定的兩個(gè)二次型 其中 是正定的，則存在非退化的線性替換 可以將 同時(shí)化成標(biāo)準(zhǔn)形 1,12,1()()nHi j i jijnHi j i jijf X X A X a x xf X X B X b x x????????12( ), ( )f X f XX P Y?