【文章內(nèi)容簡介】 ? 13 3r2220001000211003512013211????????34 rr ?2220020220211003512013211????????23 rr ??? ?2???6000001000211003512013211????????? ?? ?? ?612 ????? 45 4rr ? .12? 6400001000211003512013211????????35 2rr ?4???練習(xí) 1： 3351110243152113??????D例 2 計算 階行列式 nabbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababbnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 列都加到第一列得 n,3,2 ?? ?11( 1 ) 11b b ba b ba n b b a bb b a? ? ?? ?1( 1 )b b baba n b abab?? ? ? ??00 ? ? 1( 1 ) ( ) .na n b a b ?? ? ? ?練習(xí) 2： 3111131111311113?D例 3 設(shè) 11 1111 1 11 1110kk kkknn n k n n naaaaDc c b bc c b b?,)det(11111kkkkijaaaaaD?????? ,)det(12nnnnijbbbbbD ????.21 DDD ?證明 證明 111 1110。kkk kkpD p ppp??對 作運算 ，把 化為下三角形行列式 1Dijr kr?1D設(shè)為 對 作運算 ，把 化為下三角形行列式 2D ijc kc?2D112 1110.nnn n kqD q qqp設(shè)為 對 D 的前 k 行作運算 ，再對后 n 列作運算 ， 把 D 化為下三角形行列式 ,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD???????????11 11kk n nD p p q q???ijr kr? ijc kc?故 (行列式中行與列具有同等的地位 , 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立 ). 計算行列式常用方法： (1)利用定義 。(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值． 三、小結(jié) 行列式的 6個性質(zhì) 計算 4階行列式 思考題 11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD?????? ?1abc d ?已 知思考題解答 解 111111112222dddcccbbbaaaD ?1111111111112222dddcccbbbaaa?dddcccbbbaaaabcd1111111111112222? ? ?dddcccbbbaaa111111111111122223??.0?167。 6 行列式按行 (列 )展開 ?對角線法則只適用于二階與三階行列式 . ?本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式 . 一、引言 12 23 31 111 2212 21 3333 3 21 3213 22 3111 23 32a a aa a aaa a aa a aaa aaa? ?????11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a? ? ? ?? ?12 23 313 21 3112 22 322 33 1 21 3332123 a a a aaaa a a aaaaaa????? ?22 23 21 23 21 2311 12 1332 33 31 33 31 33a a a a a aa a aa a a a a a? ? ?結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示 . 思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？ 例如 11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44a a a aa a a aDa a a aa a a a?11 12 1423 31 32 3441 42 44a a aM a a aa a a?? ? 2323 23 231A M M?? ? ? ?把 稱為元素 的 代數(shù)余子式 ． ? ?1ijij ijAM???ija在 n 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃后，留下來的 n－ 1階行列式叫做元素 的 余子式 ，記作 . i j ijMijaija結(jié)論 因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以 行列 式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式 . 引理 一個 n 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ． ij ijD a A?11 12 13 1421 22 23 243341 42 43 440 0 0a a a aa a a aDaa a a a?? ?11 12 143333 21 22 2441 42 441a a aa a a aa a a???例如 ? ? 3333 33 33 331a A a M?? ? ?11 12 1433 21 22 2441 42 44a a aa a a aa a a?i ijaija1121 22 21200nn n n naa a aDa a a?即有 11 11.D a M?又 ? ? 1111 11 111,A M M?? ? ?從而 11 11.D a A?下面再討論一般情形 . 分析 當 位于第 1行第 1列時 , ija（根據(jù) 10的結(jié)論） 11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 44340 0 0a a a aa a a aa a a aa我們以 4階行列式為例 . 233411 12 13 1421 22 23 2441 42 43 440 0 0( 1 )rra a a aa a a aa a a aa???121 1 1 2 1 3 1 42 1 2 2 2 3 2 44 1 4 2 4 3344420 0 0( 1 )rr a a a aa a a aa a a aa???1 1 1 2 1 3 1 42 1 2 2 2 3 2 44 1 4 2 4 3 434( 3 14)0 0 0( 1 )a a a aa a a aa a a aa???思考題： 能否以 代替上述兩次行變換？ 13rr?2312342344 1 4 2 4 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 41 1 1 2 12 1 2 2 2 33 1 41 1 1 2 1 3 1 4242 1 2 2 2 3 2 40 0 0( 1 )0 0 0rrrraaaaa a a aa a a aaaaa a a a aaaa a a a????思考題： 能否以 代替上述兩次行變換？ 133434411 1 1 2 1423 1 41 1 14 3 4 4 4 1 42 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 2 2 3 22 1 32 3 4144440 0 0( 1 )0 0 0rra a a aa a aa a a a a a aaaa a a a a a aaaa???答： 不能 . 13rr?1 1 1 2 1 3 1 42 1 2 2 2 3 2 44 1 4 2 4 3 434( 3 14)0 0 0( 1 )a a a aa a a aa a a aa???3423121 4 1 1 1 2 1 32 4 2 1 2 2 2 34 4 434( 3 1 )331 4 2 40 0 0( 1 ) ( 1 )cccccc aaa a aa a a aa a a a????? ? ?1 4 1 1 1 234( 13 1 ) 32 4 2 1 2 2 2 34 4 4 1 4 2 4 3( 4 1 )0 0 0( 1 ) ( 1 )a a a aa a a aa a aaa??? ? ?342( 1 ) ???? 34 34( 1 ) a??? 3434a A? 被調(diào)換到第 1行，第 1列 3411 12 1321 22 2341 42 4334a a aa a aa aa34M11 12 13 1421 22 23 2441 42 43 44340 0 0a a a aa a a aa a aa二、行列式按行（列）展開法則 定理 3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 ? ?1 1 2 2 1 , 2 , ,i i i i i n i nD a A a A a A i n? ? ? ? ?11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a a a a aa a a a a aa a a a a a? ? ? ? ? ??11 12 1321 22 23 21 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33 31 32 330 0 0 0 0 0a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ?11 11aA? 12 12? 13 13aA?2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3a A a A a A? ? ?3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3a A a A a A? ? ?同理可得 例 （ 7續(xù)） 3 1 1 25 1 3 420221 5 3 3D???????5 1 1 111 1 3 10 0 1 05 5 3 0?????? ? 31 2 cc ??34 c?335 1 1( 1 ) 11 1 15 5 0?? ? ? ???5 1 16 2 05 5 0???21rr?13 62( 1 )55? ?????8205???40.? 證明 用數(shù)學(xué)歸納法 21211Dxx?21()ijijxx? ? ????例 證明范德蒙德 (Vandermonde)行列式 122 2 21211 1 1121 1 1( ) .nnn i jn i jn n nnx x xx x xD x xx