線性變換的定義(編輯修改稿)
2024-09-11 20:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的恒等變換 ι； σ是 V的一個線性變換，叫做 V的一個數(shù)乘（或 位似）變換 . 因此，恒等變換及零變換都是線性變換 . 當(dāng) k＝ 0時， σ是 V的零變換 θ. 返回 后頁 前頁 例 7 設(shè) C[a, b]是定義在 [a, b]上的一切連續(xù) 函數(shù)作成的 R上的線性空間 . 對任意的 f(x)∈ C[a, b], 規(guī)定 J(f(x))＝ . 例 6 在 F[x]中，令 D(f(x))=f 39。(x)． 容易驗(yàn)證， D是 F[x]的一個線性變換，稱為 F [x]的微商變換（或微分變換） . J(f(x))仍是 [a, b]上的連續(xù)函數(shù)． 線性變換，叫做 C[a, b]的積分變換 . J是 C[a, b]的一個 ()xa f t dt?返回 后頁 前頁 二 . 線性變換的基本性質(zhì) 1) 線性變換 σ把零向量變成零向量； 把任一向量 α的負(fù)向量 α變成 α的象 σ(α)的負(fù)向量 σ(α). 證 任取一向量 α，有 σ(0)＝ σ(0α)＝ 0σ(α)＝ 0． 所以 σ(α)＝ σ(α) σ(α)+σ(α)＝ σ(αα)＝ σ(0)＝ 0， 返回 后頁 前頁 2) 定義 1中的條件 (1), (2)與以下條件等價： (3) 對任意的 a, b∈ F, α, β∈ V，有 σ(aα+bβ)＝ aσ(α)+bσ(β). 3）線性變換 σ保持線性關(guān)系式，即對于 β∈ V， 若有 k1, k2,…, kn∈ F,及 α1,α2,…, αn ∈ V使得 β＝ k1α1+ k2α2+…+ knαn 則 σ(β)＝ k1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn), 返回 后頁 前頁 特別地，當(dāng) β＝ 0時，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝ 0. 若 k1 ， k2， … ， kn 不全為 0，則得性質(zhì)： 4) 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性相關(guān) 的向量組 . 5) 設(shè) σ是 V的一個線性變換 , V′ 是 V的子空間 . V′ 在 σ下的象集合 ,記作
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