【文章內(nèi)容簡介】 ） Φp(x) 0 x 圖 均勻分布 a b 1 ba A x +e 0 e Φp(x) 圖 反正弦分布 632反正弦 均勻 三角 2~3 正態(tài) 包含因子 k 分布 p(x) 0 x 圖 三角分布 e e 1/e 非等精度測量 前面討論的測量結(jié)果是基于等精度測量條件下進(jìn)行的，這是通 常的測量情況。但有時(shí)候，如在科研或高精度測量中，往往在 不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測量方法，不同的 測量次數(shù)以及不同的測量者進(jìn)行測量與對比，這種測量稱為非 （或不）等精度測量。 對于非等精度測量，計(jì)算最后測量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差）， 不能套用前面等精度測量的計(jì)算公式，需要采用新的計(jì)算公式。 1.“ 權(quán)”的概念和確定方法 日常統(tǒng)計(jì)中也用“權(quán)”的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計(jì)學(xué)生的 各科總平均成績，以顯示學(xué)分多的課程重要性。例如，三門學(xué) 分為 2課程的加權(quán)平均成績?yōu)? 3 8 2 1 8 6 2 7 5 4 8 2 8 0 . 33 1 2 6? ? ? ? ? ????分2. 加權(quán)算術(shù)平均值 若對同一被測量進(jìn)行 m組非等精度測量，得到 m組測量結(jié)果 mxxx , 21 ? m , 21 ?mmmxwxwxwx???????????????????212211，設(shè)相應(yīng)的權(quán)值為 ，則 加權(quán)算術(shù)平均值為 例 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度分別為 （ 3次測量的）， （ 2次測量的），（ 5次測量的），求最后測量結(jié)果。 解： 按測量次數(shù)來確定權(quán)： w1=3， w2=2， w3=5 ，取 x0=，則有 523?????????x = mm 3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對同一被測量進(jìn)行 m組非等精度測量，得到 m個(gè)測量結(jié)果， 各組測量結(jié)果的殘余誤差為 經(jīng)推導(dǎo)可得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： （ ） ??????miimiixixwmw112)1(??ixiv x x?? 粗大誤差 在一定條件下，測量值顯著偏離其實(shí)際值所對應(yīng)的誤差。 產(chǎn)生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯(cuò)誤、測量方法錯(cuò)誤、儀器有缺 陷、電磁干擾及電壓跳動等。 粗大誤差無規(guī)律可循，故必須當(dāng)作壞值予以剔除。 剔除是要有一定依據(jù)的 。在不明原因的情況下， 首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給 定一臵信概率，確定相應(yīng)的臵信區(qū)間，凡超出臵信區(qū)間的誤差 就認(rèn)為是粗大誤差。 具體檢驗(yàn)方法常見的有三種 ： 定義 處理 剔除法則 檢驗(yàn)方法常見的有三種： 1 萊特檢驗(yàn)法 （ n200） i?＞ 3s（ x） 2 格拉布斯檢驗(yàn)法 （理論與實(shí)驗(yàn)證明較好） 3 中位數(shù)檢驗(yàn)法 x P(x) E(x) 0 3s 3s 中位數(shù) ≈ 平均值 大量統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時(shí) 99 99 99 100 100 100 101 101 1019 0 0 49 1 0 1 91 0 1 41 0 1 11 0 0 81 0 0 41 0 0 19 9 99 9 69 9 1 ??????????max? ＞ Gs G查 p34表 中位數(shù) 例 GS GS 應(yīng)用舉例 例 對某溫度進(jìn)行多次等精度測量，所得結(jié)果列于表 ， 試檢查數(shù)據(jù)中有無異常。 表 例 序號 測得值 xi 殘差 vi 序號 測得值 xi 殘差 vi 序號 測得值 xi 殘差 vi 1 ℃ +℃ 6 ℃ ℃ 11 ℃ +℃ 2 ℃ +℃ 7 ℃ ℃ 12 ℃ +℃ 3 ℃ ℃ 8 ℃ ℃ 13 ℃ ℃ 4 ℃ +℃ 9 ℃ ℃ 14 ℃ ℃ 5 ℃ +℃ 10 ℃ +℃ 15 ℃ ℃ (1） 萊特檢驗(yàn)法 ： 從表中可以看出 x8=℃ 殘差較大，是個(gè) 可疑數(shù)據(jù)， ?x)( ?xs8 0 .1 0 4? ?8 3 ( )sx? ?4 1 39。?x)( ??xs3 ( ) 0 . 0 3 3 3 0 . 0 9 9 1sx ? ? ?3 ( ) 0 . 0 1 6 3 0 . 0 4 8sx ? ? ? ?℃ 故可判斷 x8是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。再對剔除后數(shù)據(jù)計(jì)算得 其余的 14個(gè)數(shù)據(jù)的 i?均小于 3 ( )sx? ，故為正常數(shù)據(jù)。 （ 2） 格拉布斯檢驗(yàn)法 （ 3） 中位數(shù)檢驗(yàn)法 取臵信概率 Pc=，以 n=15查表 G= Gs= =＜ 8?，剔除 x8后重新計(jì)算判別， 得 n=14， pc= G值為 2． 66 GSˊ ＝ ＝ 余下數(shù)據(jù)中無異常值。 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中位數(shù) 平均值 剔除 前 剔除 后 更接近 x(1)所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的， 至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定 。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。 (2)若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，然后重新計(jì)算 (3)在一組測量數(shù)據(jù)中， 可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少 。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。要對異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進(jìn)行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會。 (4)上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測值數(shù)據(jù)最好 n200，若 n10則會失效； 格拉布斯檢驗(yàn)法理論嚴(yán)密，概率意義明確，實(shí)驗(yàn)證明較好 ；中位數(shù)檢驗(yàn)法簡捷方便，也能滿足一般實(shí)用要求。 在對粗大誤差處理中要注意以下幾個(gè)問題： 系統(tǒng)誤差 上面所述的隨機(jī)誤差處理方法，是以測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng) 誤差為前提。 實(shí)際上，測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng) 誤差數(shù)值還比較大。 對系統(tǒng)誤差的研究較為復(fù)雜和困難，研究新的、有效的發(fā)現(xiàn)和 減小系統(tǒng)誤差的方法，已成為誤差理論的重要課題之一。 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差是 由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成 ， 這些誤差因素是可以掌握的。 儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理上的缺點(diǎn)，如指針式儀表零點(diǎn)未調(diào)整正確； 儀器零件制造和安裝不正確，如標(biāo)尺的刻度偏差、刻度盤和 指針的安裝偏心、儀器各導(dǎo)軌的誤差、天平的臂長不等；儀器 附件制造偏差，如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)直徑偏差等。 測量時(shí)的實(shí)際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度 等按一定規(guī)律變化的誤差。 采用近似的測量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差。 由于測量者的個(gè)人特點(diǎn)，在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一 方向；動態(tài)測量時(shí)，記錄某一信號有滯后的傾向。 系統(tǒng)誤差的檢查和判別 系統(tǒng)誤差（簡稱系差）的特征是： 恒定系差 多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變； 變值系差 條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。 恒定系差（恒差）常用的判斷方法有以下幾種 1)改變測量條件 測量條件指測量者、測量方法和環(huán)境條件等，在某一測量條件下有許多恒差 為一確定不變值，如改變測量條件，就會出現(xiàn)另一個(gè)確定的恒差，例如，對 儀表零點(diǎn)的調(diào)整 。 2)理論分析計(jì)算 凡屬由于測量方法或測量原理引入的恒差，只要對測量方法和測量原理進(jìn)行 定量分析 ，就可找出 系差的大小。（分壓比校準(zhǔn)） 3)用高檔儀器比對、校準(zhǔn) 用高檔儀器定期計(jì)量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗(yàn)后，則知 其是偏大還是偏小。用校準(zhǔn)后的修正值（數(shù)值、曲線、公式或表格）來檢查 和消除恒差。 4)統(tǒng)計(jì)法 （ 排除隨機(jī)誤差，剩下即系統(tǒng)恒差 ） 下面分析恒定系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。 設(shè)一系列重復(fù)測量值為 x1， x2， … ， xn，測量值中含有隨機(jī)誤差 δi 和恒定 系統(tǒng)誤差 ε，設(shè)被測量的真值為 x0，則有 ?? ??? ii xx 0當(dāng) n足夠多時(shí)， 01???nii???? ?????? ???010 )(11 xnnxnxnxniii01???nii?上式表明，當(dāng)測量次數(shù) n足夠大時(shí)，隨機(jī)誤差對 x的影響可忽略，而系統(tǒng) 中。利用修正值 C=－ ε可以在進(jìn)行平均前的每個(gè)測量值 xi 誤差 ε會反映在 x中扣除，也可以在得到算術(shù)平均值后扣除。對于因測量方法或原理引入的 恒定系差，可通過理論計(jì)算修正。 2. 變值系差的判定 常用的有以下兩種判據(jù)： 1)剩余誤差觀察法 （ a）剩余誤差大體上正負(fù)相間，且無顯著變化規(guī)律，可認(rèn)為不存在系統(tǒng)誤差； （ b）剩余誤差有規(guī)律的遞增或遞減，且在測量開始與結(jié)束誤差符號相反，則 存在線性系統(tǒng)誤差； （ c）變值系統(tǒng)誤差剩余誤差符號有規(guī)律地由正變負(fù)，再由負(fù)變正，且循環(huán)交替 重復(fù)變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差； （ d）則同時(shí)存在線性和周期性系統(tǒng)誤差。若測量列中含有不變的系統(tǒng)誤差， 用剩余誤差觀察法則發(fā)現(xiàn)不了。 Φv 0 n 圖 變值系差示意圖 (c) n Φv 0 n Φv 0 n Φv 0 (a) (b) (d) 2) 累進(jìn)性系差的判別 — 馬利科夫判據(jù) 圖 (a)(b)表示了與測量條件成線性關(guān)系的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，如由于蓄電 池端電壓的下降引起的電流下降。在累進(jìn)性系差的情況下，殘差基本上向一 個(gè)固定方向變化。 馬利科夫判據(jù)是常用的判別有無累進(jìn)性系差的方法。具體步驟是： ① 將 n項(xiàng)剩余誤差 i?按順序排列； ② 分成前后兩半求和，再求其差值 D 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí) ? ?? ????2/1 12/ninniiiD ??當(dāng) n為奇數(shù)時(shí) ????????nniiniiD2/)1(2/)1(1??③ 若 則說明測量數(shù)據(jù)存在累進(jìn)性系差。 0?D（ ） i?n?1?前一半 后一半 3)周期性系差的判別 —— 阿貝 — 赫梅特判據(jù) 周期性系差的典型例子是當(dāng)指針式儀表度盤安裝偏心時(shí)，會產(chǎn)生這種周期性 系差。 如圖 （ a）所示，如鐘表的軸心在水平方向有一點(diǎn)偏移，設(shè)它的指針在 垂直向上的位臵時(shí)造成的誤差為 ξ，當(dāng)指針在水平位臵運(yùn)動時(shí) ξ 逐漸減小至零， 當(dāng)指針運(yùn)動到垂直向下位臵時(shí)，誤差為 ξ，如此周而復(fù)始，造成的誤差如圖 （ b）所示，這類呈規(guī)律性交替變換的系統(tǒng)誤差稱為周期性系統(tǒng)誤差。 0176。 ξ 90176。 180176。 ξ 270176。 ξ 0 t (a) (b) 圖 周期性系差實(shí)例 以 鐘 表為例 阿貝 — 赫梅特判據(jù) 具體步驟是 ： ① 把測量數(shù)據(jù) I 項(xiàng)剩余誤差 i?按測量順序排列； ② 將 兩兩相乘，然后求其和的絕對值 i?????? ????11113221 . . . . . .niiinn ????????（ ） ③ 用貝塞爾公式求方差 ????niinxs12211)( ?④ 再與方差相比較，若 12111 ( )niiin s x????????（ ） 則可認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差。 存在變值系統(tǒng)誤差的數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用。 但是，若雖然存在變值系差， 而剩余誤差最大值處于允許范圍以內(nèi)，則測量數(shù)據(jù)可用。 削弱系統(tǒng)誤差的基本方法： 消除或減弱系統(tǒng)誤差應(yīng)從根源上著手。 1. 零示法 當(dāng)檢流計(jì) G中 I=0 212RRREUUx ????待測 標(biāo)準(zhǔn) U Ux E x R1 R2 G 圖 零示法測電壓 G只要示零精度高 （臵換法） 直流電橋平衡條件 標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)可讀電阻 當(dāng) RXR2=R1R3 G=0 將 RSR2=R1R3 G=0 則 RX=RS 步驟： R3，使 G=0， R3不動； RS，使 G=0， RX=RS RS