第二章資產(chǎn)收益率及收益率分布性質(zhì)(中山大學(xué))(編輯修改稿)
2024-09-03 10:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?? ? 因?yàn)? ，而 ，所以 必須收斂，當(dāng) 時(shí)， .隨著 的增大， 收斂到 0 當(dāng) 較大時(shí)，當(dāng)前收益率 對遙遠(yuǎn)過去的收益率 的線性依賴會消失 20 0 0( , ) [ ( ) ( ) ]l t t l i t i j t l j a j j li j jC o v r r E a a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?202 2 20011a i i l i i ll i o ila i iii? ? ? ? ????? ? ???????????? ? ??????220()t a iiV ar r ????? ? ()tV a r r ? ??2{}i?i ?? 0i? ? l l?ltrtlr? 一 、 時(shí)間序列模型的基本概念 時(shí)間序列模型 （ time series modeling） 是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動項(xiàng)所建立起來的模型 ， 其一般形式為 Xt=F(Xt1, Xt2, … , ?t) 建立具體的時(shí)間序列模型 ， 需解決如下三個(gè)問題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如 ， 取線性方程 、 一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動項(xiàng) （ ?t = ?t ） ， 模型將是一個(gè) 1階自回歸過程 AR(1)(Autoregressive process)： Xt=?Xt1+ ?t 這里 ， ?t特指一白噪聲 。 一般的 p階自回歸過程 AR(p)是 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t (*) (1)如果隨機(jī)擾動項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 (?t=?t)， 則稱 (*)式為一 純 AR(p)過程 （ pure AR(p) process） ， 記為 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (2)如果 ?t不是一個(gè)白噪聲 ， 通常認(rèn)為它是一個(gè) q階的移動平均 （ moving average） 過程 MA(q)： ?t=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式給出了一個(gè) 純 MA(q)過程 （ pure MA(q) process） 。 MA模型的引入 將 MA模型看成參數(shù)受某種限制的無窮階 AR模型來引入 無窮階 AR模型為： 使以上 AR模型有實(shí)際意義的一個(gè) 方式是假定其系數(shù)滿足某種限制，如以下特殊情形： 其中參數(shù)只依賴于單個(gè)參數(shù) ； 寫成緊湊形式 ① ② 在②式兩邊乘 ，再減去①式，得到 MA(1)模型的一般形式為 1 1 2 2t t t tX X X? ? ???? ? ? ?231 1 1 2 1 3t t t t tX X X X? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1? 1 ,1ii i??? ? ?21 1 1 2t t t tX X X? ? ???? ? ? ?21 1 2 1 3 1t t t tX X X? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1?11t t tX ? ? ? ???11t t tX ? ? ? ??? 將純 AR(p)與純 MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的 自回歸移動平均 （ autoregressive moving average）過程 ARMA（ p,q） ： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式表明： （ 1） 一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動平均過程生成 ， 即該序列可以由其自身的滯后值以及隨機(jī)擾動項(xiàng)來解釋 。 （ 2） 如果該序列是平穩(wěn)的 ， 即它的行為并不會隨著時(shí)間的推移而變化 ， 那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測未來 。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢所在 。 例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型 ： 這里 ， 、 、 分別表示消費(fèi) 、 投資與國民收入 。 與 作為內(nèi)生變量 ， 它們的運(yùn)動是由作為外生變量的投資 的運(yùn)動及隨機(jī)擾動項(xiàng) 的變化決定的 。 ttt CYC ???? ???? ? 12110ttt ICY ??tC tItYtC tYtIt? 上述模型可作變形如下： 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動項(xiàng) ， 其特征依賴于投資項(xiàng) It的行為 。 如果 It是一個(gè)白噪聲 ， 則消費(fèi)序列 Ct就成為一個(gè) 1階自回歸過程 AR(1)， 而收入序列 Yt就成為一個(gè) (1,1)階的自回歸移動平均過程 ARMA(1,1)。 tttt ICC ????????1111011211111 ???????? ?ttttt IIYY ?????????11121101121111111 ?????????? ?? 自回歸移動平均模型 （ ARMA） 是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式 ， 自回歸模型 （ AR） 和移動平均模型 （ MA） 是它的特殊情況 。 關(guān)于這幾類模型的研究 ， 是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析 、 模型的識別和模型的估計(jì) 。 AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性 ， 可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷 。 如果一個(gè) p階自回歸模型 AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的 ，就說該 AR(p)模型是平穩(wěn)的 ， 否則 ， 就說該 AR(p)模型是非平穩(wěn)的 。 考慮 p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (*) 引入滯后算子（ lag operator ） L： LXt=Xt1, L2Xt=Xt2, …, LpXt=Xtp (*)式變換為 (1?1L ?2L2… ?pLp)Xt=?t 記 ?(L)= (1?1L ?2L2… ?pLp),則稱多項(xiàng)式方程 ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0 為 AR(p)的特征方程 (characteristic equation)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR(p)模型是平穩(wěn)的。 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件 對 1階自回歸模型 AR(1) ttt XX ?? ?? ? 1方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望 ， 得到 Xt的方差 )(2)()()( 122 122 ttttt XEEXEXE ??? ?? ???由于 Xt僅與 ?t相關(guān) ， 因此 ， E(Xt1?t)=0。 如果該模型穩(wěn)定 ， 則有 E(Xt2)=E(Xt12)， 從而上式可變換為： 2220 1 ???? ???? X在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從
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