【文章內容簡介】 于零則認為該分布函數是向左偏斜的。所以這里的值不僅表示偏斜的程度，也表示偏斜的方向。計算統(tǒng)計量： （215）其中，為峰度系數，上一小節(jié)已經介紹了其計算方法，為偏度，計算公式為： （216）在上述公式中，表示的是某一金融資產收益序列的收益率，表示的是這一序列收益率的均值。統(tǒng)計量是由Jarque和Bera提出的檢驗法，同時他們在定義了統(tǒng)計量計算公式的基礎上也理論推導出統(tǒng)計量服從的是分布，并結合數據計算出自由度為2，即統(tǒng)計量滿足：，其中表示的是給定的顯著性水平[9]。通過計算統(tǒng)計量的值，可以分析某一隨機變量的分布是否具有尖峰性，判別準則為：（1） ，則認為該分布是正態(tài)分布；（2） ，則認為該分布不是正態(tài)分布； 正態(tài)圖法圖用于直觀驗證一組數據是否來自某個分布，或者驗證某兩組數據是否來自同一（族）分布。在教學和軟件中常用的是檢驗數據是否來自于正態(tài)分布。該方法是分別計算數據的分位數，然后在對正態(tài)分布的分位數描點，如果通過實際記錄數據畫出的圖是近似一條直線的，那么就認為這個隨機變量服從的是正態(tài)分布[10]。要利用圖鑒別樣本數據是否近似于正態(tài)分布，只需看圖上的點是否近似地在一條直線附近，而且該直線的斜率為標準差，截距為均值，用圖還可獲得樣本偏度和峰度的粗略信息。對于正態(tài)概率圖，有一些常見的變形圖形： （1）短尾分布：如果尾部比正常的短，則點所形成的圖形左邊朝直線上方彎曲，右邊朝直線下方彎曲——如果傾斜向右看，圖形呈S型。表明數據比標準正態(tài)分布時候更加集中靠近均值。 （2）長尾分布：如果尾部比正常的長，則點所形成的圖形左邊朝直線下方彎曲，右邊朝直線上方彎曲——如果傾斜向右看，圖形呈倒S型。表明數據比標準正態(tài)分布時候有更多偏離的數據。一個雙峰分布也可能是這個形狀。 （3）右偏態(tài)分布：右偏態(tài)分布左邊尾部短，右邊尾部長。因此，點所形成的圖形與直線相比向上彎曲，或者說呈U型。把正態(tài)分布左邊截去，也會是這種形狀。 （4）左偏態(tài)分布：左偏態(tài)分布左邊尾部長，右邊尾部短。因此，點所形成的圖形與直線相比向下彎曲。把正態(tài)分布右邊截去，也會是這種形狀。 圖21 短尾分布和長尾分布圖22 右偏分布和左偏分布盡管作直方圖能馬上知道數據的分布，但它卻不是判斷這些數據是否來自同一特定分布的好辦法。人眼不能很好地判別曲線，其他的分布也可能形成相似的形狀。并且，用服從正態(tài)分布的少量數據集作成的直方圖可能看起來不是正態(tài)的。因此，正態(tài)概率圖是判斷數據分布的較好方法。 尾極值指數法首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領域里尾極值指數又可以分為上尾極值指數和下尾極值指數。所謂上尾極值指數對應的是上尾分布具有厚尾性，設存在一隨機變量，用表示，其分布函數為，且其分布函數滿足，其中，則稱變量符合上尾“厚尾”型分布，其中即為上尾極值指數。同樣的也有下尾極值指數計算公式。用尾極值指數法計算標準正態(tài)分布可以得出，當限定時計算得出尾極值指數。所以一般都認為，標準正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎上，如果計算某一隨機變量分布的尾極值指數，則可認為該分布服從正態(tài)分布，如果計算得出尾極值指數，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。在分析股票收益率時用尾極值指數法檢驗股票收益率是薄尾型分布還是厚尾型分布非常簡單方便，只需要計算尾極值，判斷尾極值指數值是否為零還是大于零就可以得出結論。但是，在實際金融市場中，實際數據是不連續(xù)的，需要進行抽樣計算，這就要求必須根據樣本選取進行尾極值指數估計，一般來說目前樣本估算尾極值指數都是采用Moment型估計量，計算公式為： （217）其中。 （218）在只考慮尾指數的條件下，當時，有。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數是薄尾型的，是厚尾型的。現在既可以進行假設性檢驗，作原假設：，備擇假設：。如果通過樣本計算得出，即拒絕原假設而接受備擇假設，此時有。若給定顯著性水平，通過計算可得到原假設的拒絕域為，其中表示的是標準正態(tài) 分布的單側 臨界值，即。所以，通過對總體抽樣，在大樣本容量下，對于給定顯著性水平，若有，則就認為該隨機變量的分布呈現“厚尾”性，相反，如果計算得出，則就認為該隨機變量分布是“薄尾”性的。另外，可以計算出該判別方法在給定顯著性水平下容忍度，其中的值一般取為最佳選擇[11]。 本章小結 本章首先介紹了股票收益率的計算方法，包括單期收益和多期收益，并且無論是單期收益還是多期收益都有兩種計算方式，簡單收益率和對數收益率。之后重點介紹了本文的研究重點，股票收益率的正態(tài)性檢驗和尖峰厚尾特性。之后又詳細介紹如何檢驗收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計算式，其中尖峰檢驗有峰度系數法和JB統(tǒng)計量法，厚尾性檢驗有正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計算方法。 3 股票收益率分布模型 幾種常用收益率分布模型 穩(wěn)定分布在概率論中，穩(wěn)定分布（Stable distribution，又稱為雷維偏阿爾法穩(wěn)定分布（Levy skew alphastable distribution））是一種連續(xù)概率分布，它是由保羅皮埃爾萊維發(fā)展起來的。在穩(wěn)定分布中，獨立同分布的隨機變量之和及它們本身具有相同的分布?？梢杂脦讉€參數來表示穩(wěn)定分布，它們分別是特性指數、尺度 、偏度參數以及位移。在金融工程領域里常用穩(wěn)定分布去分析處理金融數據以觀察金融動態(tài)。數學領域定義穩(wěn)定分布是通過對其特征函數進行連續(xù)傅里葉變換，計算公式為： （31）其中穩(wěn)定分布的特征函數計算公式為： （32）當時，；當時。式中的表示位移參數，用來判定分布的對稱性，用來表示尺度對分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度，表示的是分布指數，當時反映分布就表示分布的漸進行為，此時漸進行為可以表示為： （33） 其中為伽馬函數。穩(wěn)定分布的形式沒有統(tǒng)一的方案，但是卻存在三個特例： 對于，分布縮減為正態(tài)分布（方差為，均值為）； 對于和，分布縮減為柯西分布（尺度參數為，移位參數為）； 對于和，分布縮減為雷維分布（尺度參數為，移位參數為）；以上三個分布其實是相互關聯的。一個標準的柯西隨機變量可以被看成是高斯隨機變量（所有均值為零）和一個標準雷維分布的方差的混合。圖31 穩(wěn)定分布概率密度曲線圖32 穩(wěn)定分布累積分布曲線 拉普拉斯分布在概率論與統(tǒng)計學中，拉普拉斯分布是以皮埃爾西蒙拉普拉斯的名字命名的一種連續(xù)概率分布。由于它可以看作是兩個不同位置的指數分布背靠背拼接在一起，所以它也叫作雙指數分布。兩個相互獨立同概率分布指數隨機變量之間的差別是按照指數分布的隨機時間布朗運動，所以它遵循拉普拉斯分布。對于某一隨機變量，若它服從的概率密度函數為： （34）則就認為該隨機變量是服從拉普拉斯分布的，其中表示的是位置參數，表示的是尺度參數，如果，那么，正半部分恰好是尺度為的指數分布。拉普拉斯分布的概率密度函數讓聯想到正態(tài)分布，但是，正態(tài)分布是用相對于平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對于平均值的差的絕對值來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。根據絕對值函數，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那么很容易對拉普拉斯分布進行積分。它的累積分布函數為： （35）圖33 拉普拉斯分布概率密度曲線圖34 拉普拉斯分布累積分布曲線 混合正態(tài)分布混合正態(tài)分布又稱混合高斯分布或混合常態(tài)分布，與基本正態(tài)分布或逆高斯分布不同，它的基本思想是對每一個像素，定義K個狀態(tài),，每個狀態(tài)用一個高斯函數表示，這些狀態(tài)一部分表示背景的像素值，其余部分則表示前景的像素值。相對于高斯分布的定義，混合正態(tài)分布計算公式為： （36）式中的表示的是第個影響因素的系數，且滿足限定條件，大寫字母表示的是總的成分數量，當時表示的就是高斯分布。通過計算混合高斯分布的累積分布函數，可以將其分解為各個具有不同加權值的累積分布之和。圖35 混合正態(tài)分布概率密度曲線圖36 混合正態(tài)分布累積分布曲線 基于正態(tài)比值法收益率分布模型 兩正態(tài)分布之比的概率密度首先，假設存在兩個隨機變量和都是服從正態(tài)分布的，且有，則和的概率密度函數為： （37）假設隨機變量和是相互獨立的，令，則隨機變量的概率密度可由和概率密度推導出來，計算公式為： （38）其中： （39） （310）此時正態(tài)分布之比的概率密度函數分解成兩部分，先計算第一部分，這里令： （311）對上式進行整理得到：（312）令： （313）則當時。對于： （314） （315）最終推出： （316） （317）當，時，有：， （318）此時分布退變?yōu)榭挛鞣植?。令，則： （319）從式中可以看出，影響分布的對稱性：，為對稱分布；，為負偏分布；，為正偏分布。 基于回歸分析的正態(tài)比模型回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法。運用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。 回歸分析是應用極其廣泛的數據分析方法之一。它基于觀測數據建立變量間適當的依賴關系，以分析數據內在規(guī)律，并可用于預報、控制等問題。這里假設股票交易中，收盤價與開盤價之間為一元線性關系： （320）其中表示的是股票開盤價，表示的是股票收盤價，和表示的是一元線性系數，表示隨機誤差。則股票收益率為： （321）假設隨機變量服從正態(tài)分布，隨機誤差是服從正態(tài)分布的，則有，那么股票收益率的概率密度可以表示為： （322）其中： （323）極大似然估計法是求參數估計的一種方法。它最早由高斯提出，后來費歇在1912年的文章中重新提出，并且證明了這個方法的一些性質。極大似然估計這一名稱也是費歇給的，這是一種目前仍然得到廣泛應用的方法。它是建立在極大似然原理的基礎上的一個統(tǒng)計方法，極大似然原理的直觀想法是：一個隨機試驗如有若干個可能的結果，，…。若在一次試驗中，結果出現，則一般認為試驗條件對出現有利，也即出現的概率很大。求極大似然函數估計值的一般步驟： （1）由總體分布導出樣本的聯合概率密度； （2）把樣本聯合概率密度函數中自變量看成已知常數，而把參數看作自變量，得到似然函數； （3）求似然函數的最大值點（常轉化為求對數似然函數的最大值點） ； （4）在最大值點的表達式中，用樣本值代入就得參數的極大似然估計值。 極大似然估計，只是一種概率論在統(tǒng)計學的應用，它是參數估計的方法之一。說的是已知某個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數不清楚，參數估計就是通過若干次試驗，觀察其結果，利用結果推出參數的大概值。極大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個參數能使這個樣本出現的概率最大，當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個參數作為估計的真實值。當然極大似然估計只是一種粗略的數學期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計。極大似然估計的原理如下：設總體是離散型隨機變量，其概率函數為，其中是未知參數。設為取自總體的樣本，則的聯合概率函數為，這里是常量，是變量。如果樣本取值，則事件發(fā)生的概率為，這一概率隨的值的變化而變化。從直觀上來看，即樣本值已經出現了，它們出現的概率相對來說應比較大，應使其概率取比較大的值[12]。因此，取似然函數如下： （324）極大似然估計法就是在參數的可能取值范圍內選取使達到最大的參數值，即取，使得： （325）因此，求參數的極大似然估計值的問題就是求似然函數的最大值問題。這通過解方程來得到