【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于零則認(rèn)為該分布函數(shù)是向左偏斜的。所以這里的值不僅表示偏斜的程度，也表示偏斜的方向。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量： （215）其中，為峰度系數(shù)，上一小節(jié)已經(jīng)介紹了其計(jì)算方法，為偏度，計(jì)算公式為： （216）在上述公式中，表示的是某一金融資產(chǎn)收益序列的收益率，表示的是這一序列收益率的均值。統(tǒng)計(jì)量是由Jarque和Bera提出的檢驗(yàn)法，同時(shí)他們?cè)诙x了統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式的基礎(chǔ)上也理論推導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量服從的是分布，并結(jié)合數(shù)據(jù)計(jì)算出自由度為2，即統(tǒng)計(jì)量滿足：，其中表示的是給定的顯著性水平[9]。通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，可以分析某一隨機(jī)變量的分布是否具有尖峰性，判別準(zhǔn)則為：（1） ，則認(rèn)為該分布是正態(tài)分布；（2） ，則認(rèn)為該分布不是正態(tài)分布； 正態(tài)圖法圖用于直觀驗(yàn)證一組數(shù)據(jù)是否來自某個(gè)分布，或者驗(yàn)證某兩組數(shù)據(jù)是否來自同一（族）分布。在教學(xué)和軟件中常用的是檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)分布。該方法是分別計(jì)算數(shù)據(jù)的分位數(shù)，然后在對(duì)正態(tài)分布的分位數(shù)描點(diǎn)，如果通過實(shí)際記錄數(shù)據(jù)畫出的圖是近似一條直線的，那么就認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從的是正態(tài)分布[10]。要利用圖鑒別樣本數(shù)據(jù)是否近似于正態(tài)分布，只需看圖上的點(diǎn)是否近似地在一條直線附近，而且該直線的斜率為標(biāo)準(zhǔn)差，截距為均值，用圖還可獲得樣本偏度和峰度的粗略信息。對(duì)于正態(tài)概率圖，有一些常見的變形圖形： （1）短尾分布：如果尾部比正常的短，則點(diǎn)所形成的圖形左邊朝直線上方彎曲，右邊朝直線下方彎曲——如果傾斜向右看，圖形呈S型。表明數(shù)據(jù)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)候更加集中靠近均值。 （2）長(zhǎng)尾分布：如果尾部比正常的長(zhǎng)，則點(diǎn)所形成的圖形左邊朝直線下方彎曲，右邊朝直線上方彎曲——如果傾斜向右看，圖形呈倒S型。表明數(shù)據(jù)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)候有更多偏離的數(shù)據(jù)。一個(gè)雙峰分布也可能是這個(gè)形狀。 （3）右偏態(tài)分布：右偏態(tài)分布左邊尾部短，右邊尾部長(zhǎng)。因此，點(diǎn)所形成的圖形與直線相比向上彎曲，或者說呈U型。把正態(tài)分布左邊截去，也會(huì)是這種形狀。 （4）左偏態(tài)分布：左偏態(tài)分布左邊尾部長(zhǎng)，右邊尾部短。因此，點(diǎn)所形成的圖形與直線相比向下彎曲。把正態(tài)分布右邊截去，也會(huì)是這種形狀。 圖21 短尾分布和長(zhǎng)尾分布圖22 右偏分布和左偏分布盡管作直方圖能馬上知道數(shù)據(jù)的分布，但它卻不是判斷這些數(shù)據(jù)是否來自同一特定分布的好辦法。人眼不能很好地判別曲線，其他的分布也可能形成相似的形狀。并且，用服從正態(tài)分布的少量數(shù)據(jù)集作成的直方圖可能看起來不是正態(tài)的。因此，正態(tài)概率圖是判斷數(shù)據(jù)分布的較好方法。 尾極值指數(shù)法首先介紹一下尾極值的定義，在金融分析領(lǐng)域里尾極值指數(shù)又可以分為上尾極值指數(shù)和下尾極值指數(shù)。所謂上尾極值指數(shù)對(duì)應(yīng)的是上尾分布具有厚尾性，設(shè)存在一隨機(jī)變量，用表示，其分布函數(shù)為，且其分布函數(shù)滿足，其中，則稱變量符合上尾“厚尾”型分布，其中即為上尾極值指數(shù)。同樣的也有下尾極值指數(shù)計(jì)算公式。用尾極值指數(shù)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可以得出，當(dāng)限定時(shí)計(jì)算得出尾極值指數(shù)。所以一般都認(rèn)為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾分布為薄尾特性，在此基礎(chǔ)上，如果計(jì)算某一隨機(jī)變量分布的尾極值指數(shù)，則可認(rèn)為該分布服從正態(tài)分布，如果計(jì)算得出尾極值指數(shù)，則表示該分布不是正態(tài)分布而是屬于厚尾型分布的。在分析股票收益率時(shí)用尾極值指數(shù)法檢驗(yàn)股票收益率是薄尾型分布還是厚尾型分布非常簡(jiǎn)單方便，只需要計(jì)算尾極值，判斷尾極值指數(shù)值是否為零還是大于零就可以得出結(jié)論。但是，在實(shí)際金融市場(chǎng)中，實(shí)際數(shù)據(jù)是不連續(xù)的，需要進(jìn)行抽樣計(jì)算，這就要求必須根據(jù)樣本選取進(jìn)行尾極值指數(shù)估計(jì)，一般來說目前樣本估算尾極值指數(shù)都是采用Moment型估計(jì)量，計(jì)算公式為： （217）其中。 （218）在只考慮尾指數(shù)的條件下，當(dāng)時(shí)，有。有前面尾型判斷原則可知，若尾極值指數(shù)是薄尾型的，是厚尾型的?，F(xiàn)在既可以進(jìn)行假設(shè)性檢驗(yàn)，作原假設(shè)：，備擇假設(shè)：。如果通過樣本計(jì)算得出，即拒絕原假設(shè)而接受備擇假設(shè)，此時(shí)有。若給定顯著性水平，通過計(jì)算可得到原假設(shè)的拒絕域?yàn)?，其中表示的是?biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布的單側(cè) 臨界值，即。所以，通過對(duì)總體抽樣，在大樣本容量下，對(duì)于給定顯著性水平，若有，則就認(rèn)為該隨機(jī)變量的分布呈現(xiàn)“厚尾”性，相反，如果計(jì)算得出，則就認(rèn)為該隨機(jī)變量分布是“薄尾”性的。另外，可以計(jì)算出該判別方法在給定顯著性水平下容忍度，其中的值一般取為最佳選擇[11]。 本章小結(jié) 本章首先介紹了股票收益率的計(jì)算方法，包括單期收益和多期收益，并且無論是單期收益還是多期收益都有兩種計(jì)算方式，簡(jiǎn)單收益率和對(duì)數(shù)收益率。之后重點(diǎn)介紹了本文的研究重點(diǎn)，股票收益率的正態(tài)性檢驗(yàn)和尖峰厚尾特性。之后又詳細(xì)介紹如何檢驗(yàn)收益率的尖峰性和厚尾性，分別給出了判別計(jì)算式，其中尖峰檢驗(yàn)有峰度系數(shù)法和JB統(tǒng)計(jì)量法，厚尾性檢驗(yàn)有正態(tài)圖法和尾極值法，文中也都給出了計(jì)算方法。 3 股票收益率分布模型 幾種常用收益率分布模型 穩(wěn)定分布在概率論中，穩(wěn)定分布（Stable distribution，又稱為雷維偏阿爾法穩(wěn)定分布（Levy skew alphastable distribution））是一種連續(xù)概率分布，它是由保羅皮埃爾萊維發(fā)展起來的。在穩(wěn)定分布中，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和及它們本身具有相同的分布?？梢杂脦讉€(gè)參數(shù)來表示穩(wěn)定分布，它們分別是特性指數(shù)、尺度 、偏度參數(shù)以及位移。在金融工程領(lǐng)域里常用穩(wěn)定分布去分析處理金融數(shù)據(jù)以觀察金融動(dòng)態(tài)。數(shù)學(xué)領(lǐng)域定義穩(wěn)定分布是通過對(duì)其特征函數(shù)進(jìn)行連續(xù)傅里葉變換，計(jì)算公式為： （31）其中穩(wěn)定分布的特征函數(shù)計(jì)算公式為： （32）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。式中的表示位移參數(shù)，用來判定分布的對(duì)稱性，用來表示尺度對(duì)分布的影響，代表著穩(wěn)定分布的寬度，表示的是分布指數(shù)，當(dāng)時(shí)反映分布就表示分布的漸進(jìn)行為，此時(shí)漸進(jìn)行為可以表示為： （33） 其中為伽馬函數(shù)。穩(wěn)定分布的形式?jīng)]有統(tǒng)一的方案，但是卻存在三個(gè)特例： 對(duì)于，分布縮減為正態(tài)分布（方差為，均值為）； 對(duì)于和，分布縮減為柯西分布（尺度參數(shù)為，移位參數(shù)為）； 對(duì)于和，分布縮減為雷維分布（尺度參數(shù)為，移位參數(shù)為）；以上三個(gè)分布其實(shí)是相互關(guān)聯(lián)的。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的柯西隨機(jī)變量可以被看成是高斯隨機(jī)變量（所有均值為零）和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)雷維分布的方差的混合。圖31 穩(wěn)定分布概率密度曲線圖32 穩(wěn)定分布累積分布曲線 拉普拉斯分布在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，拉普拉斯分布是以皮埃爾西蒙拉普拉斯的名字命名的一種連續(xù)概率分布。由于它可以看作是兩個(gè)不同位置的指數(shù)分布背靠背拼接在一起，所以它也叫作雙指數(shù)分布。兩個(gè)相互獨(dú)立同概率分布指數(shù)隨機(jī)變量之間的差別是按照指數(shù)分布的隨機(jī)時(shí)間布朗運(yùn)動(dòng)，所以它遵循拉普拉斯分布。對(duì)于某一隨機(jī)變量，若它服從的概率密度函數(shù)為： （34）則就認(rèn)為該隨機(jī)變量是服從拉普拉斯分布的，其中表示的是位置參數(shù)，表示的是尺度參數(shù)，如果，那么，正半部分恰好是尺度為的指數(shù)分布。拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)讓聯(lián)想到正態(tài)分布，但是，正態(tài)分布是用相對(duì)于平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對(duì)于平均值的差的絕對(duì)值來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態(tài)分布更加平坦。根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)，如果將一個(gè)拉普拉斯分布分成兩個(gè)對(duì)稱的情形，那么很容易對(duì)拉普拉斯分布進(jìn)行積分。它的累積分布函數(shù)為： （35）圖33 拉普拉斯分布概率密度曲線圖34 拉普拉斯分布累積分布曲線 混合正態(tài)分布混合正態(tài)分布又稱混合高斯分布或混合常態(tài)分布，與基本正態(tài)分布或逆高斯分布不同，它的基本思想是對(duì)每一個(gè)像素，定義K個(gè)狀態(tài),，每個(gè)狀態(tài)用一個(gè)高斯函數(shù)表示，這些狀態(tài)一部分表示背景的像素值，其余部分則表示前景的像素值。相對(duì)于高斯分布的定義，混合正態(tài)分布計(jì)算公式為： （36）式中的表示的是第個(gè)影響因素的系數(shù)，且滿足限定條件，大寫字母表示的是總的成分?jǐn)?shù)量，當(dāng)時(shí)表示的就是高斯分布。通過計(jì)算混合高斯分布的累積分布函數(shù)，可以將其分解為各個(gè)具有不同加權(quán)值的累積分布之和。圖35 混合正態(tài)分布概率密度曲線圖36 混合正態(tài)分布累積分布曲線 基于正態(tài)比值法收益率分布模型 兩正態(tài)分布之比的概率密度首先，假設(shè)存在兩個(gè)隨機(jī)變量和都是服從正態(tài)分布的，且有，則和的概率密度函數(shù)為： （37）假設(shè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的，令，則隨機(jī)變量的概率密度可由和概率密度推導(dǎo)出來，計(jì)算公式為： （38）其中： （39） （310）此時(shí)正態(tài)分布之比的概率密度函數(shù)分解成兩部分，先計(jì)算第一部分，這里令： （311）對(duì)上式進(jìn)行整理得到：（312）令： （313）則當(dāng)時(shí)。對(duì)于： （314） （315）最終推出： （316） （317）當(dāng)，時(shí)，有：， （318）此時(shí)分布退變?yōu)榭挛鞣植?。令，則： （319）從式中可以看出，影響分布的對(duì)稱性：，為對(duì)稱分布；，為負(fù)偏分布；，為正偏分布。 基于回歸分析的正態(tài)比模型回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。運(yùn)用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析。 回歸分析是應(yīng)用極其廣泛的數(shù)據(jù)分析方法之一。它基于觀測(cè)數(shù)據(jù)建立變量間適當(dāng)?shù)囊蕾囮P(guān)系，以分析數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，并可用于預(yù)報(bào)、控制等問題。這里假設(shè)股票交易中，收盤價(jià)與開盤價(jià)之間為一元線性關(guān)系： （320）其中表示的是股票開盤價(jià)，表示的是股票收盤價(jià)，和表示的是一元線性系數(shù)，表示隨機(jī)誤差。則股票收益率為： （321）假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)誤差是服從正態(tài)分布的，則有，那么股票收益率的概率密度可以表示為： （322）其中： （323）極大似然估計(jì)法是求參數(shù)估計(jì)的一種方法。它最早由高斯提出，后來費(fèi)歇在1912年的文章中重新提出，并且證明了這個(gè)方法的一些性質(zhì)。極大似然估計(jì)這一名稱也是費(fèi)歇給的，這是一種目前仍然得到廣泛應(yīng)用的方法。它是建立在極大似然原理的基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果，，…。若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)出現(xiàn)有利，也即出現(xiàn)的概率很大。求極大似然函數(shù)估計(jì)值的一般步驟： （1）由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率密度； （2）把樣本聯(lián)合概率密度函數(shù)中自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù)看作自變量，得到似然函數(shù)； （3）求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)（常轉(zhuǎn)化為求對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)） ； （4）在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中，用樣本值代入就得參數(shù)的極大似然估計(jì)值。 極大似然估計(jì)，只是一種概率論在統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用，它是參數(shù)估計(jì)的方法之一。說的是已知某個(gè)隨機(jī)樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計(jì)就是通過若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。極大似然估計(jì)是建立在這樣的思想上：已知某個(gè)參數(shù)能使這個(gè)樣本出現(xiàn)的概率最大，當(dāng)然不會(huì)再去選擇其他小概率的樣本，所以干脆就把這個(gè)參數(shù)作為估計(jì)的真實(shí)值。當(dāng)然極大似然估計(jì)只是一種粗略的數(shù)學(xué)期望，要知道它的誤差大小還要做區(qū)間估計(jì)。極大似然估計(jì)的原理如下：設(shè)總體是離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為，其中是未知參數(shù)。設(shè)為取自總體的樣本，則的聯(lián)合概率函數(shù)為，這里是常量，是變量。如果樣本取值，則事件發(fā)生的概率為，這一概率隨的值的變化而變化。從直觀上來看，即樣本值已經(jīng)出現(xiàn)了，它們出現(xiàn)的概率相對(duì)來說應(yīng)比較大，應(yīng)使其概率取比較大的值[12]。因此，取似然函數(shù)如下： （324）極大似然估計(jì)法就是在參數(shù)的可能取值范圍內(nèi)選取使達(dá)到最大的參數(shù)值，即取，使得： （325）因此，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值的問題就是求似然函數(shù)的最大值問題。這通過解方程來得到