曲線與方程(教案)(編輯修改稿)
2025-09-03 10:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 坐標(biāo)滿足的等式化簡即得軌跡方程．解 設(shè)P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，則|OP|2－2＝|O′P|2－6.∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，∴x＝，故動點(diǎn)P的軌跡方程是x＝. 直接法求曲線方程的一般步驟：(1)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)；(2)列出幾何等量關(guān)系式；(3)用坐標(biāo)條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)＝0；(4)變方程為最簡方程；(5)檢驗(yàn)，就是要檢驗(yàn)點(diǎn)軌跡的純粹性與完備性．【訓(xùn)練1】 如圖所示，過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y)．∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．由已知＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0.考向二 定義法求軌跡方程【例2】?一動圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線．[審題視點(diǎn)] 由曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．解 如圖所示，設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為OO2，將圓的方程分別配方得：(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，當(dāng)動圓與圓O1相外切時，有|O1M|＝R＋2.①當(dāng)動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|＝10－R.②將①②兩式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12|O1O2|，∴動圓圓心M(x，y)到點(diǎn)O1(－3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12，所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1(－3,0)、O2(3,0)，長軸長等于12的橢圓．∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，∴圓心軌跡方程為＋＝1，軌跡為橢圓． 在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡求得方程，同時注意變量范圍．【訓(xùn)練2】 已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解 如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.這表明動點(diǎn)M到
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