slyaaa高二數(shù)學幾何學的發(fā)展(編輯修改稿)
2024-09-01 19:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 離開了求證第五公設的目標，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標靠攏但是，他們沒有認識到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗可證實的范圍內(nèi)描述物質(zhì)空間性質(zhì)的唯一幾何 奇異的羅巴切夫斯基幾何學 羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設 a是任一直 線， A是 a外任一定點。在 a與 A所決定的平面上，過點 A而與 a不相交的直線，至少有兩條 羅巴切夫斯基非歐幾何命題 三角形內(nèi)角和都是小于 π 的，而且其和量因三角形而異，并非一個常量。 同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。 不存在相似而不全等的兩個三角形。 如果兩個三角形的各內(nèi)角對應相等，則它們必定是全等的。 存在著沒有外接圓的三角形。 三角形三邊的中垂線并非必定交于一點。 在平面上一條已知直線 a的同一側，與已知線 a有給定距離的點的 軌跡是一曲線，它上面的任意三點都不在一條直線上。 在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點，通過它不能做出一條同時與兩邊相交的直線。 圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑 幾何學的統(tǒng)一性與現(xiàn)實性 德國數(shù)學家年提出另一種 非歐幾何學 ——黎曼幾何（黎曼。 1854年）直接起源于微分幾何的研究 黎曼幾何的平行公理，是假設過直線外一點不存在與 已知直線平行的直線。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于 π “ 現(xiàn)實性 ” 直到 19世紀初，所有的數(shù)學家都認為歐氏幾何是物 質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。并且 “ 空間 ”也專指當時人們所唯一了解的歐幾里得空間 羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷 引起人們的懷疑。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑炞C它的合理性，曾作過一些實際的測定。歷史的事實卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“ 合理性 ” 黎曼幾何在相對論中的現(xiàn)實應用。 愛因斯坦說： “ 我特別強調(diào)剛才所講的這種幾何學的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論。 ” 愛爾蘭根綱領 19世紀初，運用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學 愛爾蘭根綱領（克萊因， 1872年）：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關的不變量。 克萊因以射影幾何為基礎、對幾何學做了如下的分類： 射影幾何 仿射幾何 單重橢圓幾何 雙重橢圓幾何 雙曲幾何 （黎曼幾何） （羅巴切夫斯基幾何） 拋物幾何 其他仿射幾何 （歐幾里得幾何） 利用不變性研究圖形的性質(zhì)，為初等幾何的研究提供了新的方法。 例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。我們不妨將原命題應用仿射變換轉化為相應的圓的命題：設△ ABC為圓內(nèi)接三角形，以其頂點作切線構成了切線三角形A1B1C1。如果 A1B1∥ AB. B1C1∥ BC。那么A1C1∥ AC。一旦我們證明了這個有關圓的命題，再利用仿射變換下 “ 平行 ” 為不變性，便可知原命題成立。 幾何基礎與公理化方法 公理化方法 非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學家注意到古希臘把公理當作自明的真理的局限性。分析的算術化研究不斷深入，逐漸形成了科學的公理化方法。 公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導出的定理，沒有哪兩個是相互矛盾的； 完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導出 獨立性，即由公理導出的定理中中沒有一個是另一個的邏輯 結果。在任何一個公理系中，不加定義的概念 例如幾何學中的 “ 點 ” 和 “ 線 ” ，它們在物理領域中的 “ 意義 ” 或關系，在數(shù)學上是非本質(zhì)的。它們被當作純粹抽象的東西，它們在演繹系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定 歐氏幾何公理體系的嚴密化 希爾伯特幾
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