【文章內(nèi)容簡介】 點(diǎn)P滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； （Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),分別過A、B作軌跡C的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程。巧練二：如圖，在以點(diǎn)O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點(diǎn)，∠POB=30176。. 曲線C是滿足||MA|－|MB||為定值的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，且曲線C過點(diǎn)P. （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F. 分別過E、E、求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程。十三、幾何法利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后得出題目結(jié)論的方法叫做幾何法?！纠?】(2008年，浙江卷)已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足 的最大值是（ ） （A）1 （B）2 （C） （D）OxyC【巧解】不妨設(shè)以、所在直線為軸，軸，且，由已知得，整理得即，所以向量的坐標(biāo)是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓且過原點(diǎn)，故的最大值即為圓的直徑為，故本題選（C）【例2】（2008年，江蘇卷）若AB=2，AC=的最大值 .【巧解】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由B(2,0)Axy即，∴，化簡得配方得，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓（除去與軸的兩個(gè)交點(diǎn)），所以當(dāng)點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值為，即時(shí)，有最大值為，所以答案為巧練一：已知，其中，則的最小值為 .巧練二：已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值等于 .十四、弦中點(diǎn)軌跡法有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦重點(diǎn)軌跡。“點(diǎn)差法”解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率。【例1】（2009年高考海南、寧夏卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為（2，2），則直線的方程為 .【巧解】由知拋物線C的方程為，設(shè)，代入拋物線方程則有：，兩式相減有，即，又，∴，即。故：，即，∴本題應(yīng)填【例2】橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，若過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為 （ ）（A） （B） （C） （D）【巧解】設(shè)的中點(diǎn)為，，則，又，兩式相減，得，即，∴∴，又，∴，故選（B）巧練一：若橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為 .巧練二：若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在直線的斜率是為 .十五、比較法現(xiàn)實(shí)世界的同類量之間，有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系。兩個(gè)可以比較大小的量和，若，，則它們分別表示，，我們把根據(jù)兩個(gè)量的差的正、負(fù)或零判斷兩個(gè)量不等或相等的方法叫做差式比較法；當(dāng)兩個(gè)量均為正值時(shí)，有時(shí)我們又可以根據(jù)，或來判斷，，這個(gè)方法叫做商式比較法。這兩種方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯問題中應(yīng)用廣泛。比較法之一（作差法0步驟：作差——變形——定號(hào)——結(jié)論（1）作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。（2）變形：常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”。（3）定號(hào)：就是確定是大于，還是等于，還是小于，最后下結(jié)論。概括為“三步，一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵。注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以把式子靈活變形，通過作商或?qū)⑺鼈兊钠椒讲顏肀容^大小?！纠?】已知數(shù)列中，且點(diǎn)在直線上 （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【巧解】（1）點(diǎn)在直線上，即且 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列 （2）， 是單調(diào)遞增的，故的最小值是【例2】（Ⅰ）已知函數(shù)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N*），在曲線上，求an.（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，且Tn是數(shù)列{}？若存在，請(qǐng)求出Tn的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【巧解】（Ⅰ）點(diǎn)（n，Sn）在曲線上，所以當(dāng)n=1時(shí)，a1= S1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an= Sn Sn1=96n， （Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法， 存在最大值 巧練一：（2005年，全國卷）若，則 （ ） A．a(chǎn)bc B．cba C．cab D．bac巧練二：已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（Ⅰ）求函數(shù)的反函數(shù)的解析式；（Ⅱ）記，是否存在正數(shù)k，求出k的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 十六、基本不等式法借助基本不等式證明不等式或求某些函數(shù)最值的方法叫基本不等式。常用的基本不等式有下面幾種形式：①若、則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立，②若、則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立。③若、都是正數(shù)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立。④若、都是正數(shù)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立。對(duì)于公式及公式的理解，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①兩個(gè)公式成立的條件是不同的，前者只要求、是實(shí)數(shù)，而后者強(qiáng)調(diào)、必須是正數(shù)。②要對(duì)兩個(gè)公式的等號(hào)及“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”的含義要有透徹的理解并會(huì)在函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)中靈活應(yīng)用。解題功能及技巧是：①二、三元不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能。②在創(chuàng)設(shè)應(yīng)用不等式的使用條件時(shí)，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧。③“和定積最大，積定和最小”，即個(gè)正數(shù)的和為定值，則可求積的最大值，積為定值，則可求和的最小值。應(yīng)用此結(jié)論求某些函數(shù)最值要注意三個(gè)條件：就是“一正——各項(xiàng)都是正數(shù)；二定——積或和是定值；三等——等號(hào)能否取到”，求最值時(shí)，若忽略了上述三個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題失敗。必要時(shí)要做適當(dāng)?shù)淖冃位驌Q元，以滿足上述條件?！纠?】（2008年，重慶卷）函數(shù)f（x）=（0≤x≤2）的值域是（ ）（A）[－] （B）[－]（C）[－] （D）[－]【巧解】∵，∴令，∵，∴∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即或，∴，因而，故的值域?yàn)閇－]【例2】（2008年，遼寧卷）設(shè)則函數(shù)的最小值為 .【巧解】由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得： =，∵∴，利用均值定理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，∴，所以應(yīng)填.巧練一：函數(shù)的最小值是 。巧練二：求函數(shù)的最大值。十七、綜合法利用某些已知證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法?！纠?】已知是正數(shù)，且，求證：【巧證】左右，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“＝”號(hào)，故?！纠?】已知是正數(shù)，且，求證：【巧證】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)。巧練一：已知函數(shù)．設(shè)，求證：．巧練二：已知都是實(shí)數(shù)，且，求證：十八、分析法證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法通常叫分析法。注意：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求不等式成立的充分條件，可以簡單寫成，②分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法。綜合法是“由因?qū)Ч?；③分析法論證“若則”這個(gè)命題的證明模式（步驟）是：欲證明命題成立，只須證明命題成立，從而有，只須證明命題成立，從而又有，只須證明命題成立，而已知成立，故必成立。④用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)用好“要證”，“只須證”，“即證”，“也即證”等詞語?！纠?】求證【巧證】∵，要證，只須證，即證也即證，∵，顯然成立，∴原不等式成立?！纠?】設(shè)，且，證明【巧證】要證只須證，即證兩邊平方得：，也即證，∵且∴顯然成立，∴原不等式成立。巧練一：求證巧練二：已知，，試證明：十九、放縮法欲證，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量，使得?；?。，在利用傳遞性，達(dá)到欲證的目的，這種方法叫放縮法。放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮否則是達(dá)不到目的，此方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題中證明大小關(guān)系是常用方法。放縮法的方法有：（1）添加或舍去一些項(xiàng)，如：；（2）將分子或分母放大（或縮?。?）利用基本不等式，如：（4）利用常用結(jié)論：①；②；（程度大）③（程度?。堋纠?】已知數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)【巧解】由即 （2）當(dāng)n=1時(shí)，又【例2】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，總有【巧解】（Ⅰ）解： ① ②①—②，得 即數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）證明：∵對(duì)任意正整數(shù)n，總有 巧練一：已知數(shù)列{}的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)；數(shù) 列{}中，點(diǎn)P（，）在直線上，（Ⅰ）求數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式，；（Ⅱ）設(shè){}的前項(xiàng)和為，試比較與2的大??；巧練二：已知數(shù)列，且對(duì)任意，都有上. （1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； （2）求證：二十、反證法從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、公理、定理、法則或已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法?；咀C明模式是：要證明，先假設(shè)，由已知及性質(zhì)推出矛盾，從而肯定，適用范圍：①否定性命題；②唯一性命題；③含有“至多”、“至少”問題。④根據(jù)問題條件和結(jié)論，情況復(fù)雜難于入手，可考慮試用反證法。 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾肯定結(jié)論成立，應(yīng)用反證法證明的主要三步是：第一步，反設(shè)——作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步——?dú)w謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步——肯定結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立?！纠?】若證明 ，不能同時(shí)大于【巧證】假設(shè)，那么；同理，上述三式相加得，矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立【例2】求證：不是周期函數(shù)【巧證】假設(shè)函數(shù)是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，即對(duì)任意都有成立，令，得即，∴，分兩種情況討論：（1）若，則對(duì)任意都成立，取，有，即，而，∴不是該函數(shù)的周期。（2）若，則有對(duì)任意都成立，取，有有，即，而，∴不是該函數(shù)的周期。由（1）和（2）說明不是該函數(shù)的周期。故假設(shè)不成立，從而命題得證。巧練一：設(shè)，求證、之中至少有一個(gè)不小于巧練二：若下列方程：，至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)的取值范圍。二十一、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元的方法有：（1）局部換元，局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。