【正文】 ,對(duì)函數(shù)圖象,有時(shí)可以從它的整體變化趨勢去觀察,而不一定思考具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系,或者對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行比較以得出結(jié)論,或者從整體,從全局進(jìn)行估算,而忽略具體的細(xì)節(jié)等等,都可以縮短解題過程,這是一種從整體出發(fā)進(jìn)行解題的方法.【例1】已知是銳角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）A． B． C． D．【巧解】∵，又是銳角，∴，∴，即，故選B【例2】(2002年,全國卷)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》指出“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元,%.”如果“十【巧解】(1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2) 由得：設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為?！厩山狻浚á瘢┰O(shè)橢圓的半焦距為，依題意解之得，所求橢圓方程為．（Ⅱ）由（I）知，設(shè)，對(duì)橢圓求導(dǎo)：，即，則過A點(diǎn)的切線方程為 整理得 ① 同理過B點(diǎn)的切線方程為 ②，又在兩切線、上，∴，因此，兩點(diǎn)在均在直線上，又∵在直線上，∴，即為交點(diǎn)的軌跡方程【例2】過拋物線C：上兩點(diǎn)M，N的直線交y軸于點(diǎn)P（0，b）. （Ⅰ）若∠MON是鈍角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （Ⅱ）若b=2，曲線C在點(diǎn)M，：點(diǎn)Q必在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【巧解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M，N坐標(biāo)分別為由題意可設(shè)直線方程為y=kx+b, （Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，由（Ⅰ）知∵函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)y′=2x，拋物線在兩點(diǎn)處切線的斜率分別為∴在點(diǎn)M，N處的切線方程分別為巧練一：已知定點(diǎn)A（1，0）和定直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，滿足，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； （Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),分別過A、B作軌跡C的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程。【例1】(2008年，浙江卷)已知、是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足 的最大值是（ ） （A）1 （B）2 （C） （D）OxyC【巧解】不妨設(shè)以、所在直線為軸，軸，且，由已知得，整理得即，所以向量的坐標(biāo)是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓且過原點(diǎn)，故的最大值即為圓的直徑為，故本題選（C）【例2】（2008年，江蘇卷）若AB=2，AC=的最大值 .【巧解】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由B(2,0)Axy即，∴，化簡得配方得，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓（除去與軸的兩個(gè)交點(diǎn)），所以當(dāng)點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值為，即時(shí)，有最大值為，所以答案為巧練一：已知，其中，則的最小值為 .巧練二：已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值等于 .十四、弦中點(diǎn)軌跡法有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦重點(diǎn)軌跡。兩個(gè)可以比較大小的量和，若，則它們分別表示，我們把根據(jù)兩個(gè)量的差的正、負(fù)或零判斷兩個(gè)量不等或相等的方法叫做差式比較法；當(dāng)兩個(gè)量均為正值時(shí)，有時(shí)我們又可以根據(jù)，或來判斷，這個(gè)方法叫做商式比較法。（3）定號(hào)：就是確定是大于，還是等于，還是小于，最后下結(jié)論。常用的基本不等式有下面幾種形式：①若、則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立，②若、則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），反之也成立。②要對(duì)兩個(gè)公式的等號(hào)及“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”的含義要有透徹的理解并會(huì)在函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)中靈活應(yīng)用。應(yīng)用此結(jié)論求某些函數(shù)最值要注意三個(gè)條件：就是“一正——各項(xiàng)都是正數(shù)；二定——積或和是定值；三等——等號(hào)能否取到”，求最值時(shí)，若忽略了上述三個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題失敗。十七、綜合法利用某些已知證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法。注意：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求不等式成立的充分條件，可以簡單寫成，②分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法。【例2】設(shè)，且，證明【巧證】要證只須證，即證兩邊平方得：，也即證，∵且∴顯然成立，∴原不等式成立。放縮法的實(shí)質(zhì)是非等價(jià)轉(zhuǎn)化，放縮沒有一定的準(zhǔn)則和程序，需按題意適當(dāng)放縮否則是達(dá)不到目的，此方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題中證明大小關(guān)系是常用方法。 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾肯定結(jié)論成立，應(yīng)用反證法證明的主要三步是：第一步，反設(shè)——作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步——?dú)w謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步——肯定結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。故假設(shè)不成立，從而命題得證。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。如求函數(shù)的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)設(shè)，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域?！纠?】（2008年，江西卷）若函數(shù)的值域是，則函數(shù) 的值域是（ ） A． B． C． D． 【巧解】令，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的值域，于是由函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，得，故本題選B【例2】（2008年，重慶卷）函數(shù)的值域是（）20080807 （A）[－] （B）[－1,0] （C）[－] （D）[－]【巧解】 ，當(dāng)時(shí)，原式，令，即，∴，即，其中，又，∴，即，解之得，∴，當(dāng)時(shí)，綜上知的值域?yàn)椋时绢}選B巧練一：函數(shù)的值域是 （ ） A． B． C． D．巧練二：(2005年，福建卷)設(shè)的最小值是（ ） A． B． C．－3 D． 共98種解題方法，其他略 不等式難點(diǎn)巧學(xué)一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應(yīng)用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則有許多,如對(duì)稱性,傳遞性,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab0,則ab與等價(jià)。綜上所述，當(dāng)a1時(shí),x∈(,+∞)；當(dāng)0a1時(shí)，x∈(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。當(dāng)a,b表示向量時(shí)，不等式等號(hào)成立的條件是：向量a與b共線；當(dāng)a,b表示實(shí)數(shù)時(shí)，有兩種情形：（1）當(dāng)ab≥0時(shí)，|a+b|=|a|+|b|, |ab|=||a||b||。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對(duì)不等式（組）作同解變形、等價(jià)變換。如解不等式組:,先由③④(同)得x0(大于大的)。解決這類不等式組時(shí)常借用數(shù)軸來確定，但學(xué)生在求解時(shí)總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。若能對(duì)均值不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，那么在解題時(shí)就能達(dá)到事半功倍的效果。 是將含一個(gè)變量的式子，通過縮小變?yōu)楹瑑蓚€(gè)變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當(dāng)然反過來即是減元；(2) ≥2ab ④。(3)ab≤()2 ⑤。(5)若a,b∈R+，則+≥⑦(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào))。 ++…+≥(a1,a2,…,an0)(6) ax+by≤.(柯西不等式)此不等式將和(差)式與平方和式之間實(shí)現(xiàn)了溝通,:例: 使關(guān)于x的不等式+≥k有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍是【 】A B C + D 分析:所求k的范圍可以轉(zhuǎn)化為求不等式左邊的最大值即可,由柯西不等式得 +≤==.∴k≤,∴.五、不等式中解題方法的類比應(yīng)用三種基本方法：比較法、分析法、綜合法。如果能靈活應(yīng)用放縮法，就可以達(dá)到以簡馭繁的效果?！厩山狻?排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合題，舍D，選C。例4 0a1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|log(1+a)(1a) |+| log(1a)(1+a)|2 （B）| log(1+a)(1a)|| log(1a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1a)+log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)|+|log(1a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1a)log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)||log(1a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個(gè)選項(xiàng)中只涉及兩個(gè)式子log(1+a)(1a) 和log(1a)(1+a)，為了簡化運(yùn)算看清問題的本質(zhì)，不妨設(shè)x= log(1+a)(1a),y= log(1a)(1+a),由0a1知，x0,y0且x≠y,于是四個(gè)選項(xiàng)便為：A |x|+|y|2 B |x||y| C |x+y| |x|+|y| D |xy| |x||y|這樣選A就是極自然的事了。當(dāng)m1時(shí),ab，選B。例7 條件甲：x2+y2≤4,條件乙：x2+y2≤2x,那么甲是乙的【 】A、 充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分也非必要條件【巧解】數(shù)形結(jié)合法畫示意圖如圖。[答案] {x|x4或1x1或x4}注：可以證明不等式mn與不等式[f(x)mg(x)][f(x)ng(x)]0等價(jià)。【巧解】等價(jià)轉(zhuǎn)化法要使原不等式的解集為R，只需不等式中不含x即可，故有 xx+2c1 ∴ c。設(shè)想右端2是某數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，即令Sn=2,則n≥2時(shí)，an=SnSn1=(2)(2)==, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為,而這顯然?！厩山狻勘容^法、基本不等式法∵ 左邊右邊=2+c3=++c3≥33=0，∴原式成立。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點(diǎn)，(a+1)2+(b+1)2表示點(diǎn)Q與P(1,1)的距離的平方?！厩山狻康葍r(jià)轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法將y= x2+2ax2b+1與 y=x2+(a3)x+b21兩式相加，得 2y=(3a3)x+b22b,此即為直線MN的方程（其中M、N分別為兩函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）；另一方面，由題意知，MN即x軸，其方程為y=0,比較兩式的系數(shù)得，3a3=0,b22b=0,從而易得a=1,b=0或2，特別地當(dāng)a=1,b=0時(shí)，兩不等式的解集為{1}，也符合題意。[答案] 1≤m.注：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個(gè)簡單的性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻?，值得關(guān)注。[答案] x∈(∞,)∪(0,+∞)。[答案] 見證明過程例25 設(shè)a,b,c為ΔABC的三條邊，求證：a2+b2+c22(ab+bc+ca).【巧解】綜合法∵a+bc,b+ca,c+ab,∴三式兩邊分別乘以c,a,b得ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a2+b2+c22(ab+bc+ca).[答案] 見證明過程例26 解不等式 + x35x0.【巧解】構(gòu)造法,綜合法原不等式等價(jià)于()3+5()x3+5x,構(gòu)造函數(shù)f(x)= x3+5x,則原不等式即為f()f(x)，又f(x)在R上是增函數(shù)，∴x,解此不等式得 x2或1x1。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。[答案] 見證明過程（注：多項(xiàng)式M和N正負(fù)抵消部分項(xiàng)后，所余部分和必為非負(fù)數(shù)。（1）若a=0,則由a+c=0,得c=0,∴f(x)=≠0，∴f(x)在[1,1]是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。[答案] 見證明過程例36 是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+，對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結(jié)論。[答案] 存在常數(shù)C=,證明略.