點集拓撲學第二章拓撲空間與連續(xù)映射2-3(編輯修改稿)
2025-09-01 09:17 本頁面
【文章內容簡介】 ， ,稱含于A的所有開集的并稱為集合 A的內部 ,記為 : AXA ?A ?? },{ ?????????VAVXVVAVV 是含于 A里的最大開集 A 定理 . 設 X是一個拓撲空間， ,則 A是開集的充分必要條件是 A= . AXA ?定理 . 對 A?X, , ccAA )(?? ccAA ))(( ??證明 : 任取 則 ,從而 . ,?Ax ? cAx ? c) ( cAx ?? 任取 ,則 , c) ( cAx ? cAx ?所以 , ,所以 , 所以 ,存在 的鄰域 V,使得 : x???? cc AVxAV ?? }}{{AV ? .?Ax ??Department of Mathematics 定理 對 A, B?X, 有 (1) X?=X。 (2) A??A。 (3) (A∩B) ?=A?∩B?。 (4) A??=A?. 定義 . 設 X是一個拓撲空間， , 如果任意的 中既含有 A中的點 ,又含有 中的點 ,則稱點 為 A的 邊界點 , A的邊界點之集稱為 邊界 , 記為 ?A. XA ? Xx?xUU ?cAxDepartment of Mathematics 167。 拓撲 基與鄰域基 定義 . 設 為拓撲空間 , B ,如果任意的 ,都存在 B1 B,使的 : ),( ?X ????V ? ?1B??BBV 則稱 B是拓撲 的一個 基 ，或稱 B是拓撲空間 X的一個基． ?離散空間的一個基由所有的單點子集構成． 度量空間中的所有球形鄰域構成的集族是 這個度量空間作為拓撲空間時的一個基． Department of Mathematics 則 B是拓撲空間 X的一個基當且僅當對于每一個 x∈ X和 x的每一個鄰域 , 存在 使得 : 定理 設 B是拓撲空間 的一個開集族 ),( ?XB?BxUU ? UBx ?? 證明 :必要性 ,如果 B是 X的一個基 ,則對于每一個 和每一個 ,都存在 ,使得 : Xx?xxU U? XxWx ??? xx UW ?由于 B是基 ,所以存在 ,使得 BB ?1 ?1B???Ax AWx?1B??AAx所以 ,存在某個 ,使得 1B??A ?Ax ?充分性 : 對于 ,和每一個 , xU ??Ux?UVxtsV xx ???? .B 于是 : UVxUUxxUx??????? }{ ?UxxVU??Department of Mathematics 定理 設 X是一個集合， B是集合
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