直線的交點坐標(biāo)和距離公式(編輯修改稿)
2025-09-01 09:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 標(biāo)．解：把A，B兩點的坐標(biāo)代入y＝2x知，A，B不在直線y＝2x上，因此y＝2x為∠ACB的平分線，設(shè)點A(－4,2)關(guān)于y＝2x的對稱點為A′(a，b)，則kAA′＝，線段AA′的中點坐標(biāo)為，∵解得∴A′(4，－2)．∵y＝2x是∠ACB平分線所在直線的方程，∴A′在直線BC上，∴直線BC的方程為＝，即3x＋y－10＝0.由解得∴C(2,4)．1條規(guī)律——與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.1種思想——轉(zhuǎn)化思想在對稱問題中的應(yīng)用一般地，對稱問題包括點關(guān)于點的對稱，點關(guān)于直線的對稱，直線關(guān)于點的對稱，直線關(guān)于直線的對稱等情況，上述各種對稱問題最終化歸為點的對稱問題來解決．2個注意點——判斷直線位置關(guān)系及運(yùn)用兩平行直線間的距離公式的注意點(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮；(2)運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為分別相等. 創(chuàng)新交匯——新定義下的直線方程問題1．直線方程是高考的常考內(nèi)容，但一般不單獨考查，常與圓、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，以交匯創(chuàng)新的形式出現(xiàn)在高考中．2．解決新定義下的直線方程的問題，難點是對新定義的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中．[典例] (2013上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P(x，y)，定義[OP]＝|x|＋|y|，其中O為坐標(biāo)原點．對于以下結(jié)論：①符合[OP]＝1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；②設(shè)P為直線x＋2y－2＝0上任意一點，則[OP]的最小值為1；其中正確的結(jié)論有________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號)．[解析]?、儆蒣OP]＝1，根據(jù)新定義得，|x|＋|y|＝1，上式可化為y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y＝x－1(0≤x≤1)，畫出圖象如圖所示．根據(jù)圖形得到四邊形ABCD為邊長是的正方形，所以面積等于2，故①正確；②當(dāng)點P為時，[OP]＝|x|＋|y|＝＋01，所以[OP]的最小值不為1，故②錯誤；所以正確結(jié)論有①.[答案]?、?．本題有以下創(chuàng)新點(1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，對解析幾何問題與函數(shù)知識巧妙地結(jié)合創(chuàng)新．(2)考查新定義、新概念的理解和運(yùn)用的同時考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與思維習(xí)慣有所不同．2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(1)根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；(2)認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個反例，得到[OP]的最小值為1是假命題．3．在解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點(1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延；(2)對于新概念、新結(jié)論要具體化，舉幾個具體的例子，代入幾個特殊值；(3)注意新概念、新結(jié)論的正用會怎樣，逆用會怎樣，變形用又將會如何．四邊形OABC的四個頂點坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直線y＝kx把四邊形OABC分成兩部分，S表示靠近x軸一側(cè)那部分的面積．(1)求S＝f(k)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)k為何值時，直線y＝kx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分．解：(1)如圖所示，由題意得kOB＝.①當(dāng)k時，直線y＝kx與線段AB：2x＋y＝14相交，由解得交點為P1.因為點P1到直線OA：x－3y＝0的距離為d＝，所以S＝|OA|d＝；②當(dāng)≤k3時，直線y＝kx與線段BC：y＝6相交于點P2，所以S△OP2C＝|P2C|6＝.又因為S四邊形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，所
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