【文章內容簡介】 Θ, 有 且至少有一個 ? ∈ Θ使得上述不等號嚴格成立，則稱 比 有效。 12? ?,??12? ?V a r ( ) V a r ( ) ,???1?? 2??第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 26頁 例 設 x1, x2 , …, xn 是取自某總體的樣本，記總體均值為 ? ，總體方差為 ? 2，則 , , 都是 ? 的無偏估計，但 顯然，只要 n1， 比 有效。這表明用全部數(shù)據(jù)的平均估計總體均值要比只使用部分數(shù)據(jù)更有效。 11? x? ? 2? x? ?2212? ?V a r ( ) , V a r ( ) / n? ? ? ???2?? 1??第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 27頁 均方誤差 無偏估計不一定比有偏估計更優(yōu)。 評價一個點估計的好壞一般可以用：點估計值 與參數(shù)真值 ? 的 距離平方的期望 ， 這就是下式給出的 均方誤差 均方誤差是評價點估計的最一般的標準。我們希望估計的均方誤差越小越好。 ??2( ) ( )M SE E? ? ???第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 28頁 注意到 ，因此 (1) 若 是 ? 的無偏估計，則 ， 這說明用方差考察無偏估計有效性是合理的。 (2) 當 不是 ? 的無偏估計時，就要看其均方 誤差 。 下面的例子說明：在均方誤差的含義下 有些有偏 估計優(yōu)于無偏估計。 2( ) V a r ( ) ( )M S E E? ? ? ?? ? ??????()MSE ?( ) V a r ( )M S E ???第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 29頁 例 對均勻總體 U(0, ? )，由 ? 的極大似然估計得到的無偏估計是 ，它的均方誤差 現(xiàn)我們考慮 θ 的形如 的估計，其均方差為 用求導的方法不難求出當 時上述均方誤差達到最小，且其均方誤差 所以在均方誤差的標準下，有偏估計 優(yōu)于無偏估計 。 ()? ( 1 ) /nn x n? ??2? ?( ) V a r ( ) ( 2)M S E nn ????? ?()? nx?????22 2 22?( ) 1( 1 ) ( 2) 1nnM S En n n??? ? ? ????? ? ???? ? ???0 ( 2 ) /( 1 )nn? ? ? ?220 2( ) ( )( 1 ) ( 2 )M S E M S En n n????? ? ?????0??第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 30頁 最小方差無偏估計 定義 對參數(shù)估計問題，設 是 ? 的一個無 偏估計，如果對另外任意一個 ? 的無偏估計 ， 在參數(shù)空間 Θ上都有 則稱 是 ? 的 一致最小方差無偏估計， 簡記為 UMVUE。 如果 UMVUE存在，則它一定是充分 統(tǒng)計量的函數(shù)。 ????V a r ( ) V a r ( )???????第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 31頁 167。 區(qū)間估計 區(qū)間估計的概念 定義 設 ? 是總體的一個參數(shù)，其參數(shù)空間為 Θ，x1, x2 , …, xn是來自該總體的樣本，對給定的一個 ? (0? 1)，若有兩個統(tǒng)計量 和 ，若對任意的 ? ∈ Θ，有 （ ） 1( , , )LL nxx?????1( , , )UU nxx?????? ?( ) 1 ,LUP ? ? ? ? ?? ? ? ?第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 32頁 則稱隨機區(qū)間 [ ]為 ? 的 置信水平為 1? 的置信區(qū)間 ， 或簡稱 [ ]是 ? 的 1?置信區(qū)間 . 和 分別稱為 ? 的 （雙側） 置信下限和置信上限 . ,LU???? 這里置信水平 1? 的含義是指在大量使用該置信區(qū)間時，至少有 100(1?)%的區(qū)間含有 ? 。 ,LU????L??U??第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 33頁 例 設 x1, x2 , …, x10是來自 N(?,? 2)的樣本，則? 的置信水平為 1? 的置信區(qū)間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標準差。這個置信區(qū)間的由來將在 ，這里用它來說明置信區(qū)間的含義。 若取 ? =，則 t0..95(9)=，上式化為 1 2 1 2( 9 ) 1 0 , ( 9 ) 1 0x t s x t s??????????? ?0 .5 7 9 7 , 0 .5 7 9 7x s x s??x第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 34頁 現(xiàn)假定 ? =15,? 2 =4，則我們可以用隨機模擬方法由 N(15,4)產(chǎn)生一個容量為 10的樣本，如下即是這樣一個樣本： 由該樣本可以算得 從而得到 ? 的一個區(qū)間估計為 該區(qū)間包含 ? 的真值 15。現(xiàn)重復這樣的方法 100次，可以得到 100個樣本，也就得到 100個區(qū) 間，我們將這 100個區(qū)間畫在圖 。 1 4 . 7 0 5 3 , 1 . 8 4 3 8xs??[ 1 4 . 7 0 5 3 0 . 5 7 9 7 1 . 8 4 3 8 , 1 4 . 7 0 5 3 0 . 5 7 9 7 1 . 8 4 3 8 ] [ 1 3 . 6 4 2 7 , 1 5 . 7 6 7 9]? ? ? ? ?第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 35頁 由圖 可以看出，這 100個區(qū)間中有 91個包含參數(shù)真值 15，另外 9個不包含參數(shù)真值。 圖 ? 的置信水平為 第六章 參數(shù)估計 華東師范大學 20 August 2022 第 36頁 取 ?=，我們也可以給出 100個這樣的區(qū)間，見圖 ?？梢钥闯?，這 100個區(qū)間中有 50個包含參數(shù)真值15，另外 50個不包含參數(shù)真值。 圖 ? 的置信水平為 第六