【正文】 7。 1? ? ( , , )n n nxx????l i m ( | | ) 0nnP ? ? ??? ? ? ??n?第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 20頁 相合性被認為是對估計的一個最基本要求 , 如果一個估計量 , 在樣本量不斷增大時，它都不能把被估參數估計到任意指定的精度 , 那么這個估計是很值得懷疑的。 定理 設 是 ? 的一個估計量，若 則 是 ? 的相合估計， 1? ? ( , , )n n nxx???? ?l i m ( ) , l i m ( ) 0n n n nE V a r? ? ?? ? ? ????n?1? ?,n n k??1? ?? ( , , )n n n kg? ? ??定理 若 分別是 ?1, …, ?k 的相合估 計， ? =g(?1 , …, ?k) 是 ?1, …, ?k 的連續(xù)函數，則 是 ? 的相合估計。但對中心矩則不一樣，譬如，由于 ，樣本方差 s*2不是總體方差 ? 2的無偏估計，對此，有如下兩點說明： (1) 當樣本量趨于無窮時，有 E(s*2) ?? 2， 我們稱 s*2 為 ? 2的漸近無偏估計。這表明用全部數據的平均估計總體均值要比只使用部分數據更有效。 ??2( ) ( )M SE E? ? ???第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 28頁 注意到 ，因此 (1) 若 是 ? 的無偏估計，則 ， 這說明用方差考察無偏估計有效性是合理的。 ()? ( 1 ) /nn x n? ??2? ?( ) V a r ( ) ( 2)M S E nn ????? ?()? nx?????22 2 22?( ) 1( 1 ) ( 2) 1nnM S En n n??? ? ? ????? ? ???? ? ???0 ( 2 ) /( 1 )nn? ? ? ?220 2( ) ( )( 1 ) ( 2 )M S E M S En n n????? ? ?????0??第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 30頁 最小方差無偏估計 定義 對參數估計問題，設 是 ? 的一個無 偏估計，如果對另外任意一個 ? 的無偏估計 ， 在參數空間 Θ上都有 則稱 是 ? 的 一致最小方差無偏估計， 簡記為 UMVUE。 ,LU????L??U??第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 33頁 例 設 x1, x2 , …, x10是來自 N(?,? 2)的樣本，則? 的置信水平為 1? 的置信區(qū)間為 其中， ,s 分別為樣本均值和樣本標準差。 1 4 . 7 0 5 3 , 1 . 8 4 3 8xs??[ 1 4 . 7 0 5 3 0 . 5 7 9 7 1 . 8 4 3 8 , 1 4 . 7 0 5 3 0 . 5 7 9 7 1 . 8 4 3 8 ] [ 1 3 . 6 4 2 7 , 1 5 . 7 6 7 9]? ? ? ? ?第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 35頁 由圖 可以看出，這 100個區(qū)間中有 91個包含參數真值 15，另外 9個不包含參數真值。 同等置信區(qū)間是把給定的置信水平 1? 用足了。 若對給定的 ? (0 ? 1)和任意的 ?∈ Θ，有 ,則稱 為 ? 的置信水平為 1? 的 （單側）置信上限。 L??L??U??U??( ) 1LP ? ? ? ?? ? ? ?( ) 1UP ? ? ? ?? ? ? ?第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 39頁 單個正態(tài)總體參數的置信區(qū)間 一、 ? 已知時 ? 的置信區(qū)間 在這種情況下，樞軸量可選為 ， c和 d應滿足 P(c≤G≤d)=?(d)?(c)= 1?，經過不等式變形可得 該區(qū)間長度為 。試求該物體重量的 間。即樣本容量至少為 11時才能使得 ? 的置信水平為 。為估計某種輪胎的平均壽命，現隨機地抽 12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下： 此處正態(tài)總體標準差未知，可使用 t分布求均值的置信區(qū)間。 ()( ( 1 ) ) 1nxP t ns?? ??? ? ? ?1 ( 1 )x t n s n????第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 45頁 三、 ? 2的置信區(qū)間 取樞軸量 ，由于 ? 2分布是偏態(tài)分布，尋找平均長度最短區(qū)間很難實現，一般都用等尾置信區(qū)間：采用 ? 2的兩個分位數 ? 2? /2(n1) 和?21? /2(n1)，在 ? 2分布兩側各截面積為 ?/2的部分， 使得 由此給出 ? 2的 1?置信區(qū)間為 ? ?2 22( 1 ) ~1nsGn ?????? ? 222/ 2 1 / 221 1nsP???? ? ??????????? ??? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 2 1 21 1 , 1 1n s n n s n??????????? ? ? ?第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 46頁 例 某廠生產的零件重量服從正態(tài)分布 N(?,? 2)，現從該廠生產的零件中抽取 9個，測得其重量為（單位：克） 試求總體標準差 ? 的 。下面討論兩個均值差和兩個方差比的置信區(qū)間。 此處 故 ?1 ?2的 ? ? ? ?2211 7 2 1 1 0 . 5 5 3 6 9 3 2 5 6 . 2 2 2 2 5 2 . 4 8 8 02 1 6xywm s n ssmn? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ?1 2 0 . 9 7 52 1 6 2 . 1 1 9 9t m n t?? ? ? ? ?? ?12 1 1 1 12 2 . 1 1 9 9 5 2 . 4 8 8 0 5 2 . 7 7 9 78 1 0wt m n s mn?? ? ? ? ? ? ? ? ?[ 5 6 9 . 3 7 5 0 4 8 7 5 2 . 7 7 9 7 , 9 5 6 9 . 3 7 5 0 4 8 7 5 2 . 7 7 9 7] [ 2 9 . 5 9 5 3 , 1 3 5 . 1 5 4 7]? ? ? ? ?第六章 參數估計 華東師范大學 20 August 2022 第 54頁 (2) 若兩個品種畝產量的方差不等 ， 則可采用近 似 t