圓錐曲線焦點三角形和焦點弦性質的(編輯修改稿)
2025-09-01 05:10 本頁面
【文章內容簡介】 例2 已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任一點，且，求的面積．分析：如果設點的坐標為，由點在已知橢圓上且，利用這兩個條件，列出關于,的兩個方程，解出,．再求的面積，這種方法，運算量大且過程繁雜，須另尋捷徑．知道，可以直接利用性質2求解，使運算量簡化.解： 例3已知點是橢圓上任一點，：.證明： 例4 點是橢圓上一點，以點以及焦點、為頂點的三角形的面積等于1，求點的坐標．分析：要求點的坐標，不妨設點坐標為，由點在已知橢圓上和的面積等于1，可列兩個方程，解方程可得點的坐標．此題也可在例3的基礎上進行求解[3]．解：設點坐標為,則有 把代入 得 性質3 .證明：由正弦定理，有 即 .因為，所以 .當點P在長軸上的端點時，這時，不存在，因此，[4].性質4 離心率 證明：由正弦定理，有 例5 （2004年福建高考題）已知、是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點，若是正三角形，求這個橢圓的離心率[5]. 分析：由是正三角形可知，求解更簡便．解：根據已知條件有（如圖3） 圖3性質5 .證明：由正弦定理，有 .例6 如圖4，是橢圓上一點，、是焦點，已知求橢圓的離心率[6]． 圖4分析：知道我們可以直接利用性質5解題．解：由性質5有 化簡，得 雙曲線焦點三角形的性質以雙曲線的兩個焦點、及雙曲線上任意一點（除實軸上兩個端點外）為頂點的，叫做雙曲線的焦點三角形[7].設=，=，=β，雙曲線的離心率為，則有以下性質：圖5 性質1 證明：在中，由余弦定理，有 ① ②由①②得
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