圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)的(編輯修改稿)
2024-09-01 05:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例2 已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，且，求的面積．分析：如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在已知橢圓上且，利用這兩個條件，列出關(guān)于,的兩個方程，解出,．再求的面積，這種方法，運(yùn)算量大且過程繁雜，須另尋捷徑．知道，可以直接利用性質(zhì)2求解，使運(yùn)算量簡化.解： 例3已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，：.證明： 例4 點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)以及焦點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：要求點(diǎn)的坐標(biāo)，不妨設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)在已知橢圓上和的面積等于1，可列兩個方程，解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)．此題也可在例3的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解[3]．解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有 把代入 得 性質(zhì)3 .證明：由正弦定理，有 即 .因?yàn)?，所? .當(dāng)點(diǎn)P在長軸上的端點(diǎn)時，這時，不存在，因此，[4].性質(zhì)4 離心率 證明：由正弦定理，有 例5 （2004年福建高考題）已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若是正三角形，求這個橢圓的離心率[5]. 分析：由是正三角形可知，求解更簡便．解：根據(jù)已知條件有（如圖3） 圖3性質(zhì)5 .證明：由正弦定理，有 .例6 如圖4，是橢圓上一點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，已知求橢圓的離心率[6]． 圖4分析：知道我們可以直接利用性質(zhì)5解題．解：由性質(zhì)5有 化簡，得 雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)以雙曲線的兩個焦點(diǎn)、及雙曲線上任意一點(diǎn)（除實(shí)軸上兩個端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，叫做雙曲線的焦點(diǎn)三角形[7].設(shè)=，=，=β，雙曲線的離心率為，則有以下性質(zhì)：圖5 性質(zhì)1 證明：在中，由余弦定理，有 ① ②由①②得
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