希爾伯特幾何公理(編輯修改稿)
2024-09-01 05:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 相容性幾乎是一件不可能的事情（而且如果一個公理體系含有皮亞諾算術(shù)公理的話，這還是一個不可能的事情，這是根據(jù)哥德爾不完全定理得到的），那么我們應(yīng)該如何來證明呢？希爾伯特將方向轉(zhuǎn)向了“數(shù)”。我們只說明平面幾何（因為好說明），立體幾何類似。我們考慮的是實數(shù)域R。① 點我們用實數(shù)對x,y來表示：P∶=x,y；② 直線我們用Ax+By+C=0來表示：l∶=x,y|Ax+By+C=0。 兩條直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0平行，當(dāng)且僅當(dāng)A2B1A2B1=0③ 點P在直線l上：P∈l④ 點Bx2,y2在點Ax1,y1與點Cx3,y3之間：B∈AC∶=x1x2x3∨x3x2x1∧A,B,C共線；⑤ 對于點，線的平移，對稱，旋轉(zhuǎn)的變換，我們用一個變換來表達(dá)：x39。=ax+by+uy39。=cx+dy+v，其中adbc=1然后如果線段相等就是，兩線段在以上的坐標(biāo)變換中能重合，角亦然。（PS把線段和角也看做點的集合，定義懶得寫了）那么用以上規(guī)定幾何對象公理I（關(guān)聯(lián)公理）顯然都是成立的，只需要用到①②③規(guī)定。公理II（順序公理）顯然也都是成立的，再加上④規(guī)定。公理III（合同公理）也是成立的，加上規(guī)定⑤。需要一點點論述，就是點與直線在經(jīng)過⑥的變換后仍然是我們所研究的幾何對象（也就是說x’,y’都還是實數(shù)，其實就是要說明a2+b2形的數(shù)還是實數(shù)，這是顯然的）公理IV（平行公理）在直線的這種規(guī)定下是成立的。公理V（連續(xù)公理）根據(jù)實數(shù)的完備性，還有實數(shù)是阿基米德域這一性質(zhì)可以直接得到。也就是說我們所做的規(guī)定都是滿足“稱為幾何”的性質(zhì)的，我們便可以將這些實數(shù)，實數(shù)對作為幾何對象。那么這樣，就把這五組公理的相容性就與算術(shù)的相容性聯(lián)系在了一起了。那么只需要證明算術(shù)的相容性就可以了。關(guān)于算術(shù)的相容性，這里是對于實數(shù)理論，但是其相容性能在自身證明（這是個完備的公理系統(tǒng)）。但是按照希爾伯特的意愿一般來說指的是皮亞諾算術(shù)公理的相容性，不過根據(jù)哥德爾不完備定理，這是在算術(shù)公理內(nèi)是無法自證的，只能根據(jù)另外一個跟更強(qiáng)的公理系統(tǒng)（比如說集合論ZFC公理）來證明，可是這“另外一個公理系統(tǒng)”的相容性，又不能用自身證明了= =（根茨（，19091945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性）。簡短提一下的是，這個幾何公理系統(tǒng)不僅是相容的，而且是完備的（就是這個公理的任一語句都能在這個公理系統(tǒng)內(nèi)證明，即確定其真值）三、平行公理的獨立性（非歐幾何）我們知道了公理的相容性之后，其實還有一個有趣的問題是公理的獨立性，雖然這并不影響論證（多些方便的公理還方便于論證呢），但是數(shù)學(xué)家們總喜歡簡潔的東西……額不說了。什么是獨立性？就是一個公理不能是其他公理的邏輯推論。如何證明這里某個公理獨立性？一個辦法就是剔除掉這個公理，然后根據(jù)其它公理構(gòu)建一個新的模型，使得被剔除掉的公理不滿足于這個模型。歷史上最令人爭議的就是平行公理了，也就是用歐幾里得提出的公理來證明平行公設(shè)……當(dāng)然都失敗了。之后，人們就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何。什么是非歐幾何學(xué)？其實就是滿足以上除了平行公理的所有公理的幾何模型。既然有了非歐幾何，那么平行公里的獨立性就不證自明了?，F(xiàn)在主要是分成兩種，一個是黎曼幾何，一個是羅氏幾何。然而黎曼幾何我不清楚（手頭的書也沒有），所以我不提……對于羅氏幾何，來代替原來平行公理的公理描述如下：如果b是任一直線，且A是不在b上，則過點A有不在同一直線的兩條射線a1，a2，它們與b都不相交，而且在a1，a2所成角內(nèi)的任一射線都與b都相交。那么a1，a2所在的直線稱為與b平行然后非歐幾何學(xué)最簡單的一個特例就是球面幾何，連高中選修都會講到只需要定義“直線”為大圓便好……我就不深入了。四、合同公理的獨立性相對平行公理
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