【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可由解集(1,7)而設(shè)(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對(duì)一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。例2. 設(shè)橢圓中心在(2,1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近的端點(diǎn)距離是－，求橢圓的方程。 y B’ x A F O’ F’ A’ B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為a－c的值后列出第二個(gè)方程?！窘狻?設(shè)橢圓長(zhǎng)軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a ∴ 解得： ∴ 所求橢圓方程是：＋＝1也可有垂直關(guān)系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質(zhì)推證出等腰Rt△B’O’F’，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值。【注】 圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于a－c的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉(zhuǎn)換成方程→求解→已知系數(shù)代入。例3. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式12＋23＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國(guó)高考題）【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：,解得，于是對(duì)n＝3，等式12＋23＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對(duì)n＝k時(shí)等式成立，即12＋23＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋23＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是說，等式對(duì)n＝k＋1也成立。綜上所述，當(dāng)a＝b＝1c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對(duì)于是否存在性問題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝12＋23＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當(dāng)a＝b＝1c＝10時(shí)，題設(shè)的等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立。例4. 有矩形的鐵皮，其長(zhǎng)為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長(zhǎng)為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長(zhǎng)為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm?！?盒子容積 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 顯然:15－x0，7－x0，x0。設(shè)V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，則解得：a＝， b＝ ， x＝3 。 從而V＝(－)(－x)x≤()＝27＝576。所以當(dāng)x＝3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|1，則a的取值范圍是_____。A. 2a且a≠1 B. 0a或1a2 C. 1a2 D. a2或0a2. 方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_____。A. 1 B. －1 C. p＋q D. 無法確定 3. 如果函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖像關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，那么a＝_____。A. B. － C. 1 D. －14. 滿足C＋1C＋2C＋…＋nC500的最大正整數(shù)是_____。A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 無窮等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S＝a－ , 則所有項(xiàng)的和等于_____。A. － B. 1 C. 6. (1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，則k＝______。7. 經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(3,2)的直線方程為_____________。 8. 正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱和底面所成角為60176。，過底面一邊作截面，使其與底面成30176。角，則截面面積為______________。9. 設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10. 設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(1,6)和(1,2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個(gè)元素，集合B中有7個(gè)元素，A∪B的元素個(gè)數(shù)為n，則______。A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46176。角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 復(fù)數(shù)z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z| |z|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。A. －1a1 B. a1 C. a0 D. a－1或a14. 橢圓＋＝1上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_____。A. 8 C. C. D. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f(－)的值為_____。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45176。角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_____。【簡(jiǎn)解】1小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到＝e＝，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(－)＝f()＝－f(－)，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 設(shè)w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求實(shí)數(shù)a、b的值。（94年全國(guó)理）【分析】代入z進(jìn)行運(yùn)算化簡(jiǎn)后，運(yùn)用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。由題設(shè)條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲?fù)數(shù)的三角形式，一般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定義，由實(shí)部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。 A’ A D C’ C O H B’ B 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)0得：0x1設(shè)xx1， 則f(x)－f(x)＝－x+x（x+x）=(xx)[1(x+x)( x+x)],∵ x+x， x+x ∴ (x+x)( x+x)〉＝1∴ f(x)－f(x)0即f(x)在(,1)上是減函數(shù)∵ 1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函數(shù)。【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運(yùn)用了待定系數(shù)法和換元法。例3. 如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)。① 證明：AB’∥平面DBC’；② 假設(shè)AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度數(shù)?！痉治觥?由線面平行的定義來證①問，即通過證AB’平行平面DBC’內(nèi)的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問?！窘狻?① 連接B’C交BC’于O, 連接OD∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四邊形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中點(diǎn)△AB’C中， D是AC中點(diǎn) ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’② 作DH⊥BC于H，連接OH ∴ DH⊥平面BC’C∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH為所求二面角的平面角。設(shè)AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝sin60176。＝，BH＝，EH＝ ； Rt△BOH中，OH＝BHEH＝， y M F A x∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45176。，即二面角D—BC’—C的度數(shù)為45176?！咀ⅰ繉?duì)于二面角D—BC’—C的平面角，容易誤認(rèn)為∠DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個(gè)垂足OH，則∠DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在Rt△BOH中運(yùn)用射影定理求OH的長(zhǎng)是計(jì)算的關(guān)鍵。此題文科考生的第二問為：假設(shè)AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側(cè)面BB’C’C的 射影長(zhǎng)。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，連接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’EEF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。例4. 求過定點(diǎn)M(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程?！痉治觥窟\(yùn)動(dòng)的橢圓過定點(diǎn)M，準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到＝建立一個(gè)方程，再由離心率的定義建立一個(gè)方程?！窘狻吭O(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到： ，消m得：（x－1）＋＝1，所以橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程為（x－1）＋＝1?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，根據(jù)條件列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到。本題還引入了一個(gè)參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時(shí)，巧妙地運(yùn)用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點(diǎn)