以高等數學為背景的高考數學試題的研究(編輯修改稿)
2025-09-01 02:56 本頁面
【文章內容簡介】 解：由已知，得因為所以故 解得 所以四、 以高等數學中導數思想為背景的問題初等數學中經常用不等式、配方等方法求最值，這些方法的優(yōu)點是學生熟悉，易于掌握。但這些方法往往是技巧性要求較高，特別是對較復雜的問題；另一方面是使用面較窄，只能解一些較特殊的問題。自從導數這塊內容注入到中學教材之后，利用導數作為工具已成為高中學生研究函數性質的重要手段。這使得原本就受命題者青睞的導數幾乎成了數學高考中的主角，基本上是每年必考的知 識點之一。用導數方法求極值，求函數的單調性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，適用面廣一些，機制和最值也容易分清。以及用導數方法證明不等式等是導數思想命題重難點。命題6：設函數。（1） 試判斷函數的零點個數；（2） 若當時，函數與的圖像有兩個公共點，求的取值范圍。解：因為令得或 （※）顯然方程（※）的根的判別式當或時，方程（※）有兩個非零實根，此時函數有3個零點；當時，方程（※）有兩個相等的非零實根，此時函數有2個零點；當時，方程（※）有兩個相等的零實根，此時函數有1個零點；當時，方程（※）沒有實根，此時函數有1個零點；綜上所述：當或時，函數有3個零點；當時，函數有2個零點；當時，函數有1個零點.（2） 設，則因為， 所以 設，則令解得 列表如下：++00++由此可知在，上是增函數，在上是減函數。當時，取得極大值當時，取得極小值,而。如果函數與的圖像有兩個公共點，則函數與的圖像有兩個公共點，所以或。命題透視：本題考查了三次函數的零點個數問題和構造函數求解不等式問題，兩個問題都用到了導數思想。即從高等數學的導數思想分析：構造輔助函數，利用導數來研究函數性質。考查了函數的單調性和極值以及函數圖像等性質。例4：已知函數,。（1） 求的單調區(qū)間與極值；（2） 若函數的圖像與函數的圖像在區(qū)間上有公共點，求實數的取值范圍。五、以高等數學中積分思想為背景的問題普通高中課程標準試驗教科書選修2—2（北師版）中，增加了微積分的部分知識。這即可以增強高中數學的人文價值，也使學生掌握更有用的變量數學知識，有利于學生數學思維能力的培養(yǎng)，還可發(fā)揮微積分對初等數學的指導作用，促進中學數學教學質量的提高。命題7：（2014年江西理
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