全國(guó)卷數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)真題整理(編輯修改稿)
2024-09-01 02:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Ⅰ）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）設(shè)F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，則F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），由題設(shè)得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，則﹣2＜x1≤0，從而當(dāng)x∈（﹣2，x1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上減，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2時(shí)F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），從而當(dāng)x∈（﹣2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故當(dāng)x≥﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以當(dāng)x＞﹣2時(shí)，f（x）≤kg（x）不恒成立，綜上，k的取值范圍是[1，e2]．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題． 7．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．求出當(dāng)m=2時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)在（﹣1，0）上有唯一零點(diǎn)x0，則當(dāng)x=x0時(shí)函數(shù)取得最小值，借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x0）＞0，從而結(jié)論得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得m=1．所以函數(shù)f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域?yàn)椋ī?，+∞）．∵．設(shè)g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數(shù)，又∵g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數(shù)；在（0，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（﹣m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）＞0．當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（﹣2，+∞）上為增函數(shù)，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0∈（﹣1，0）．當(dāng)x∈（﹣2，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵，是難題． 8．（2013秋?梁子湖區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)．（I）若x≥0時(shí)，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=1+．【分析】（I）由于已知函數(shù)的最大值是0，故可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性，確定出函數(shù)的最大值，利用最大值小于等于0求出參數(shù)λ的取值范圍，即可求得其最小值；（II）根據(jù)（I）的證明，可取λ=，由于x＞0時(shí)，f（x）＜0得出，考察發(fā)現(xiàn)，若取x=，則可得出，以此為依據(jù)，利用放縮法，即可得到結(jié)論【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0時(shí)，f（x）≤0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上必為減函數(shù)，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，當(dāng)λ≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，為增函數(shù)，故不合題意，若0＜λ＜時(shí)，由f′（x）＞0解得x＜，則當(dāng)0＜x＜，f′（x）＞0，所以當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（x）＞0，此時(shí)不合題意，若λ≥，則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上必為減函數(shù)，所以當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，綜上，符合題意的λ的取值范圍是λ≥，即λ的最小值為（ II）令λ=，由（I）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，即取x=，則于是a2n﹣an+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列中證明不等式的方法及導(dǎo)數(shù)求最值的普通方法，解題的關(guān)鍵是充分利用已有的結(jié)論再結(jié)合放縮法，
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