全國卷數學導數真題整理(編輯修改稿)
2025-09-01 02:34 本頁面
【文章內容簡介】 Ⅰ）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導函數，通過對k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）設F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，則F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），由題設得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，則﹣2＜x1≤0，從而當x∈（﹣2，x1）時，F′（x）＜0，當x∈（x1，+∞）時，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上減，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2時F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，則F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），從而當x∈（﹣2，+∞）時，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故當x≥﹣2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2時，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以當x＞﹣2時，f（x）≤kg（x）不恒成立，綜上，k的取值范圍是[1，e2]．【點評】此題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程，函數恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關鍵是能夠利用導數工具研究函數的性質，此題是一道中檔題． 7．（2013?新課標Ⅱ）已知函數f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，因為x=0是函數f（x）的極值點，由極值點處的導數等于0求出m的值，代入函數解析式后再由導函數大于0和小于0求出原函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）證明當m≤2時，f（x）＞0，轉化為證明當m=2時f（x）＞0．求出當m=2時函數的導函數，可知導函數在（﹣2，+∞）上為增函數，并進一步得到導函數在（﹣1，0）上有唯一零點x0，則當x=x0時函數取得最小值，借助于x0是導函數的零點證出f（x0）＞0，從而結論得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的極值點，∴，解得m=1．所以函數f（x）=ex﹣ln（x+1），其定義域為（﹣1，+∞）．∵．設g（x）=ex（x+1）﹣1，則g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上為增函數，又∵g（0）=0，所以當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當﹣1＜x＜0時，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上為減函數；在（0，+∞）上為增函數；（Ⅱ）證明：當m≤2，x∈（﹣m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時f（x）＞0．當m=2時，函數在（﹣2，+∞）上為增函數，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一實數根x0，且x0∈（﹣1，0）．當x∈（﹣2，x0）時，f′（x）＜0，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，從而當x=x0時，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．綜上，當m≤2時，f（x）＞0．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數與方程思想，分類討論的數學思想，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力．熟練函數與導數的基礎知識是解決該題的關鍵，是難題． 8．（2013秋?梁子湖區(qū)校級月考）已知函數．（I）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）設數列{an}的通項an=1+．【分析】（I）由于已知函數的最大值是0，故可先求出函數的導數，研究其單調性，確定出函數的最大值，利用最大值小于等于0求出參數λ的取值范圍，即可求得其最小值；（II）根據（I）的證明，可取λ=，由于x＞0時，f（x）＜0得出，考察發(fā)現，若取x=，則可得出，以此為依據，利用放縮法，即可得到結論【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）==，∴f′（0）=0欲使x≥0時，f（x）≤0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上必為減函數，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，當λ≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，為增函數，故不合題意，若0＜λ＜時，由f′（x）＞0解得x＜，則當0＜x＜，f′（x）＞0，所以當0＜x＜時，f（x）＞0，此時不合題意，若λ≥，則當x＞0時，f′（x）＜0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上必為減函數，所以當x＞0時，f（x）＜0恒成立，綜上，符合題意的λ的取值范圍是λ≥，即λ的最小值為（ II）令λ=，由（I）知，當x＞0時，f（x）＜0，即取x=，則于是a2n﹣an+=++…++====＞=ln2n﹣lnn=ln2所以【點評】本題考查了數列中證明不等式的方法及導數求最值的普通方法，解題的關鍵是充分利用已有的結論再結合放縮法，
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