全國卷數(shù)學導數(shù)真題整理-文庫吧
2025-07-21 02:34 本頁面
【正文】 f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，③當a＞2時，若x∈（﹣1，0），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上是增函數(shù)，若x∈（0，a2﹣2a），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（0，a2﹣2a）上是減函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=2時，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用數(shù)學歸納法進行證明＜an≤成立，①當n=1時，由已知，故結(jié)論成立．②假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即，則當n=k+1時，an+1=ln（an+1）＞ln（），an+1=ln（an+1）＜ln（），即當n=k+1時，成立，綜上由①②可知，對任何n∈N?結(jié)論都成立．【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大． 4．（2014?新課標II）已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）＜＜，估計ln2的近似值（）．【分析】對第（Ⅰ）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；對第（Ⅱ）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；對第（Ⅲ）問，根據(jù)第（Ⅱ）問的結(jié)論，設(shè)法利用的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計算，最后可估計ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，當且僅當ex=e﹣x即x=0時，f′（x）=0，∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，∴當2b≤4，即b≤2時，g′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．②當b＞2時，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此時，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，當時，g（x）＜0，不符合題意．綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．（Ⅲ）∵＜＜，根據(jù)（Ⅱ）中g(shù)（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得．當b=2時，由g（x）＞0，得，從而；令，得＞2，當時，由g（x）＜0，得，得．．【點評】1．本題三個小題的難度逐步增大，考查了學生對函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力，對思維的要求較高，屬壓軸題．2．從求解過程來看，對導函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要，因為這直接影響到對導數(shù)符號的判斷，是解決本題的一個重要突破口．3．本題的難點在于如何尋求ln2，關(guān)鍵是根據(jù)第（2）問中g(shù)（x）的解析式探究b的值，從而獲得不等式，這樣自然地將不等式放縮為的范圍的端點值，達到了估值的目的． 5．（2014?新課標I）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定義域，導數(shù)f′（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只需證明g（x）min＞h（x）max，利用導數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴l(xiāng)nx＞﹣，∴f（x）＞1等價于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當x∈（0，）時，g′（x）＜0；當x∈（，+∞）時，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力． 6．（2013?新課標Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．【分析】（
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