全國卷數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)真題整理(已修改)
2025-08-17 02:34 本頁面
【正文】 全國卷數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)真題整理參考答案與試題解析 一．解答題（共14小題）1．（2015?河北）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）當 a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點的個數(shù)．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）對x分類討論：當x∈（1，+∞）時，g（x）=﹣lnx＜0，可得函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零點的個數(shù)．當x=1時，對a分類討論：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零點的個數(shù)；當x∈（0，1）時，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可．對a分類討論：①當a≤﹣3或a≥0時，②當﹣3＜a＜0時，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此當a=﹣時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）當x∈（1，+∞）時，g（x）=﹣lnx＜0，∴函數(shù)h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）時無零點．當x=1時，若a≥﹣，則f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函數(shù)h（x）的一個零點；若a＜﹣，則f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函數(shù)h（x）的零點；當x∈（0，1）時，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可．①當a≤﹣3或a≥0時，f′（x）=3x2+a在（0，1）內(nèi)無零點，因此f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，而f（0）=，f（1）=a+，∴當a≤﹣3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，當a≥0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有零點．②當﹣3＜a＜0時，函數(shù)f（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故當x=時，f（x）取得最小值=．若＞0，即，則f（x）在（0，1）內(nèi)無零點．若=0，即a=﹣，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴當時，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個零點．當﹣3＜a時，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個零點．綜上可得：當或a＜時，h（x）有一個零點；當a=或時，h（x）有兩個零點；當時，函數(shù)h（x）有三個零點．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題． 2．（2015?新課標II）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2﹣mx．（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．【分析】（1）利用f′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用f′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（1）證明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）時單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g（t）=et﹣t﹣e+1，則g′（t）=et﹣1．當t＜0時，g′（t）＜0；當t＞0時，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當t∈[﹣1，1]時，g（t）≤0．當m∈[﹣1，1]時，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；當m＞1時，由g（t）的單調(diào)性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當m＜﹣1時，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用．屬于難題，高考壓軸題． 3．（2014?廣西）函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a1=1，an+1=ln（an+1），證明：＜an≤．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），f′（x）=，①當1＜a＜2時，若x∈（﹣1，a2﹣2a），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，0），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，0）上是減函數(shù)，若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．②當a=2時，
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