高考數(shù)學(xué)試題理科全國(guó)卷(已修改)
2025-01-20 13:56 本頁(yè)面
【正文】 空間向量法解決立體幾何問(wèn)題 數(shù)學(xué)專(zhuān)題二 專(zhuān)題提綱 二、立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法 判斷直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系； (1)直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系 。 (2)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系 。 (3)平面與平面的位置關(guān)系 。 求解空間中的角度； 求解空間中的距離。 直線(xiàn)的方向向量； 平面的法向量。 一、引入兩個(gè)重要空間向量 一 .引入兩個(gè)重要的空間向量 把直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為 直線(xiàn)的方向向量 .如圖 1,在空間直角坐標(biāo)系中 ,由 A(x1,y1,z1)與 B(x2,y2,z2)確定的直線(xiàn) AB的方向向量是 2 1 2 1 2 1( , , )A B x x y y z z? ? ? ?z x y A B ?如果表示向量 n的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)垂直于平面 α,稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面 α,記作 n⊥ α,這時(shí)向量 n叫做 平面 α的法向量 . α n ?在空間直角坐標(biāo)系中 ,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢 ? 如圖 2,設(shè) a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2)是平面 α內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量 ,由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理知 ,若 n⊥ a且 n⊥ b,則n⊥ ,若 na = 0且 nb = 0,則 n⊥ α. a b n α 求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟 ?第一步 (設(shè) ):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為 n=(x,y,z). ?第二步 (列 ):根據(jù) na = 0且 nb = 0可列出方程組 ?第三步 (解 ):把 z看作常數(shù) ,用 z表示 x、 y. ?第四步 (取 ):取 z為任意一個(gè)正數(shù) (當(dāng)然取得越特 殊越好 ),便得到平面法向量 n的坐標(biāo) . 1 1 12 2 200x x y y z zx x y y z z? ? ??? ? ? ???例 1在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCDA1B1C1D1中 ,O是面 AC的中心 ,求面 OA1D1的法向量 . A A B C D O A1 B1 C1 D1 解：以 A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz（如圖） ,設(shè)平面 OA1D1的法向量的法向量為 n=(x,y,z), 則 O（ 1， 1， 0）， A1（ 0， 0， 2）， D1（ 0， 2， 2） 由 =（ 1， 1， 2）， =（ 1， 1， 2） 得 ，解得 取 z =1 得平面 OA1D1的法向量 的坐標(biāo) n=(2,0,1). 1OA 1OD2020x y zx y z? ? ? ??? ? ? ? ??20xzy??? ??A A B C D O A1 B1 C1 D1 x y 二 .立體幾何問(wèn)題的類(lèi)型及解法 ? 、平面間的位置關(guān)系 ? (1)直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系 ? 不重合的兩條直線(xiàn) a,b的方向向量分別為 a ,b. ① 若 a∥ b,即 a=λb,則 a∥ b. ② 若 a⊥ b,即 ab = 0,則 a⊥ b a b a b ?例 2已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形 ,∠ C1CB=∠ C1CD=∠ BCD=θ,求證 : C C1⊥ BD A1 B1 C1 D1 C B A D ?證明：設(shè) a, b,
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