高考數(shù)學(xué)試題理科全國(guó)卷(編輯修改稿)
2025-02-04 13:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 角相等或互補(bǔ) ,我們僅取銳角或直角就行了 . ?例 5如圖在正方體 ABCDA1B1C1D1中 ,M是AB的中點(diǎn) ,則對(duì)角線 DB1與 CM所成角的余弦值為 _____. B C A M x z y B1 C1 D1 A1 C D ?解 : 以 A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 A xyz, 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2,則 ? M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), ?于是 , ?∴ cos ， =. )0,2,1( ???CM )2,2,2(1 ??DBCM 1DB 30153452444041042 ???????????? (2)直線與與平面所成的角 ?若 n是平面 α的法向量 , a是直線 L的方向向量 ,則 L與 α所成的角 θ= a,n或 θ= a,n (下圖 ) . ? n a a ? ? ? ?于是 , ?因此 θ θ n α α |||||||||||||,c os|s i n nanananana??????????||||||a rc s i nnana????2?2??例 6正三棱柱 ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為 a,高為 ，求 AC1與側(cè)面 ABB1A1所成的角 a2z x y C1 A1 B1 A C B O ?解 :建立如圖示的直角坐標(biāo)系 ,則 ? A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C( ,0, ) ?設(shè)面 ABB1A1的法向量為 n=(x,y,z) ?由 得 ? ，解得 ， ?取 y= ,得 n=(3, ,0) ?而 ?∴ ?∴ 2a a23 a22a2a)2,0,0(),0,2 3,2( 1 aAAaaAB ?????????????0200232azayxa?????03zyx3 3)2,0,(1 aaAC ??21332320229|003||,c os|s i n221 ??????????????aaaaaACn?.30 ????（ 3）二面角 ?設(shè) n1 、 n2分別是二面角兩個(gè)半平面 α、 β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角 αLβ的大小與法向量 n1 、 n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo) z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo) z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩 . n1 n1 n2 n2 ?例 7在四棱錐 SABCD中 ∠ DAB=∠ ABC=90176。 ，側(cè)棱 SA⊥ 底面 AC， SA=AB=BC=1， AD=2，求二面角 ASDC的大小 . B C z x y A B C D S 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，則 B（ 1，0， 0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， S（ 0，0， 1） . ? 設(shè)平面 SCD的法向量
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