【文章內(nèi)容簡介】 (2015蘇北四市模擬)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝________.解析　依題意得(sin α＋2cos α)2＝，即＋2(1＋cos 2α)＋2sin 2α＝，sin 2α＝－cos 2α，tan 2α＝－.答案?。?．設sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________．解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0，即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.答案　5．(2015青島質(zhì)量檢測)設α為銳角，若cos＝，則sin的值為________．解析　∵α為銳角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin 2cos －cos 2sin ＝sincos－＝－＝－＝.答案　考點一　三角函數(shù)式的化簡與給角求值【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化簡：＝________.(2)[2sin 50176。＋sin 10176。(1＋tan 10176。)]＝______.解析　(1)原式＝＝＝.因為0＜α＜π，所以0＜＜，所以cos ＞0，所以原式＝cos α.(2)原式＝sin 80176。＝(2sin 50176。＋2sin 10176。)cos 10176。＝2[sin 50176。cos 10176。＋sin 10176。cos(60176。－10176。)]＝2sin(50176。＋10176。)＝2＝.答案　(1)cos α　(2)規(guī)律方法　(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：①一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；②二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升冪”等．(2)對于給角求值問題，一般給定的角是非特殊角，這時要善于將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角．另外此類問題也常通過代數(shù)變形(比如：正負項相消、分子分母相約等)的方式來求值．【訓練1】 (1)4cos 50176。－tan 40176。＝________.(2)(2014臨沂模擬)化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.解析　(1)原式＝4sin 40176。－＝＝＝＝＝＝.(2)法一　(從“角”入手，復角化單角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.法二　(從“名”入手，異名化同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β＝cos2β－cos 2β(sin2α＋cos 2α)＝－cos 2β＝.法三　(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝＋－cos 2αcos 2β＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝＋＝.法四　(從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方)原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin βcos αcos β－cos 2αcos 2β＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.答案　(1)　(2)考點二　三角函數(shù)的給值求值、給值求角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】 (1)已知0βαπ，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．深度思考　運用兩角和(差)的三角函數(shù)公式，其關鍵在于構(gòu)造角的和(差)，在構(gòu)造的過程中，要盡量使其中的角為特殊角或已知角，這樣的變角過程你掌握了嗎？解　(1)∵0βαπ，∴α－π，－－β，∴sin＝＝，cos＝ ＝，∴cos ＝cos＝coscos＋sinsin＝＋＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2－1＝－.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝0，又α∈(0，π)．∴0α，又∵tan 2α＝＝＝0，∴02α，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－0，∴βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－.規(guī)律方法　(1)解題中注意變角，如本題中＝－；(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好．【訓練2】 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0βα，(1)求tan 2α的值；(2)求β.解　(1)∵cos α＝，0α，∴sin α＝，∴tan α＝4，∴tan 2α＝＝＝－.(2)∵0βα，∴0α－β，∴sin(α－β)＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝.∴β＝.考點三　三角變換的簡單應用【例3】 (2014廣東卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.解　(1)由f＝，得Asin＝Asin ＝A＝，所以A＝3.(2)由f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin＝3＝6sin θcos ＝3sin θ＝，∴sin θ＝.∵θ∈，∴cos θ＝，∴f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.規(guī)律方法　解三角函數(shù)問題的基本思想是“變換”，通過適當?shù)淖儞Q達到由此及彼的目的．變換的基本方向有兩個，一個是變換函數(shù)的名稱，一個是變換角的形式．變換函數(shù)名稱可以使用誘導公式、同角三角函數(shù)關系、二倍角的余弦公式等；變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等．【訓練3】 (2014四川卷)已知函數(shù)f(x)＝sin.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．解　(1)因為函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以sin αcos ＋cos αsin＝(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．當sin α＋cos α＝0時，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此時cos α－sin α＝－.當sin α＋cos α≠0時，有(cos α－sin α)2＝.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0， 此時cos α－sin α＝－.綜上所述，cos α－sin α＝－或－.[思想方法]1．三角函數(shù)求值的類型及方法(1)給角求值：關鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)．(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．(3)給值求角：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為給值求值，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．2．巧用公式變形和差角公式變形：tan x177。tan y＝tan(x177。y)(1?tan xtan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝，sin2α＝，配方變形：1177。sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.[易錯防范]1．運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用，要注意“1”的各種變通．2．在(0，π)范圍內(nèi)，sin α＝所對應的角α不是唯一的．3．在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值．基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、填空題1．(2014皖南八校聯(lián)考)若tan θ＝，則＝________.解析?。剑絫an θ＝.答案　2．(2014徐州質(zhì)量抽測)已知cos＝，則cos α＝________.解析　∵cos＝sin＝，∴cos α＝1－2sin2＝1－2＝.答案　3．(2015蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)已知sin α＋cos α＝，則sin2＝________.解析　由sin α＋cos α＝兩邊平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝.答案　4．(2014杭州調(diào)研)已知α∈，且cos α＝－，則tan＝________.解析　因α∈，且cos α＝－，所以sin α＜0，即sin α＝－，所以tan α＝.所以tan＝＝＝.答案　5．已知tan＝，且－α0，則＝________.解析　由tan＝＝，得tan α＝－.又－α0，所以sin α＝－.故＝＝2sin α＝－.答案?。?．(2014宿遷調(diào)研測試)已知α，β∈，若sin＝，cos＝，則sin(α－β)的值為________．解析　由題意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin＝－，所以sin(α－β)＝－sin＝－＝.答案　7．函數(shù)f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．解析　∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，∴最小正周期T＝＝π.答案　π8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，則cos＝________.解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝－＝.答案　二、解答題9．(2014江蘇卷)已知α∈，sin α＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解　(1)因為α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.故sin＝sin cos α＋cos sin α＝＋＝－.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝＋＝－.10．已知α∈，且sin ＋cos ＝.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．解　(1)因為sin ＋cos ＝，兩邊同時平方，得sin α＝.又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.(2)因為＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－＋＝－.能力提升題組(建議用時：25分鐘)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，則C＝________.解析　由已知可得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，∴tan(A＋B)＝＝－，又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π，∴C＝.答案　2．(2014泰州調(diào)研)cos cos cos＝________.解析　cos cos cos＝cos 20176。cos 40176。cos 100176。＝－cos 20176。cos 40176。cos 80176。＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案?。?．(2014南通調(diào)研)設f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值為＋3，則常數(shù)a＝________.解析　f(x)＝＋sin x＋a2sin＝cos x＋sin x＋a2sin＝sin＋a2sin＝(＋a2)sin.依題意有＋a2＝＋3，∴a＝177。.答案　177。4．(2014惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.(1)求f的值；(2)若sin α＝，且α∈，求f.解　(1)f＝cos2＋sin cos ＝2＋＝.(2)因為f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin.所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因為sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，所以f＝＋＝.第4講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考試要求?。絪in x，y＝cos x，y＝tan x的圖象及周期性，A級要求；、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值及與x軸的交點等)，B級要求；，B級要求．知 識 梳 理1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,