橢圓考點解讀(編輯修改稿)
2025-08-31 16:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 D．12解析 由橢圓的定義知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，∴周長為4a＝4(F是橢圓的另外一個焦點)．答案 C考向二 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】?(1)求與橢圓＋＝1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，－)的橢圓方程．(2)已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程．[審題視點] 用待定系數(shù)法求橢圓方程，但應(yīng)注意橢圓的焦點位置是否確定．解 (1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為＋＝t(t＞0)，∵橢圓過點(2，－)，∴t＝＋＝2，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知條件得解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程為＋＝1或＋＝1. 運用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)法建立關(guān)于a、b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由題目所給條件求出m、n即可．【訓(xùn)練2】 (1)求長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程．解 (1)若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為＋＝1(a＞b＞0)，∵橢圓過點A(3,0)，∴＝1，a＝3，∵2a＝32b，∴b＝1，∴方程為＋y2＝1.若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，∴橢圓過點A(3,0)，∴＋＝1，∴b＝3，又2a＝32b，∴a＝9，∴方程為＋＝1.綜上所述，橢圓方程為＋y2＝1或＋＝1.(2)由△FMN為正三角形，則c＝|OF|＝|MN|＝b＝1.∴b＝.a2＝b2＋c2＝＋＝1.考向三 橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例3】?(2011北京)已知橢圓G：＋y2＝(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點．(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．[審題視點] (1)由橢圓方程可直接求出c，從而求出離心率．(2)可設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由弦長公式列出|AB|長的表達式從而求出|AB|的最大值．解 (1)由已知得，a＝2，b＝1，所以c＝＝.所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，離心率為e＝＝.(2)由題意知，|m|≥1.當(dāng)m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標(biāo)分別為，此時|AB|＝.當(dāng)m＝－1時，同理可得|AB|＝.當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
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