20xx高中數(shù)學(xué)精講精練(新人教a版)第09章-圓錐曲線(編輯修改稿)
2024-08-31 08:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 值等于，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【范例導(dǎo)析】例1. (1) 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）求與雙曲線共漸近線且過點(diǎn)的雙曲線方程及離心率．分析：由所給條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位,即確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量a、b、c的方程組，解方程組求得a、b的值。③寫出方程.解：（1）因為雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為①；∵點(diǎn)在雙曲線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程①。將分別代入方程①中，得方程組：將和看著整體，解得，∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。（2）解法一：雙曲線的漸近線方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，設(shè)所求雙曲線方程為∵，∴ ①∵在雙曲線上∴ ②由①－②，得方程組無解當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，設(shè)雙曲線方程為∵，∴ ③∵在雙曲線上，∴ ④由③④得，∴所求雙曲線方程為：且離心率解法二：設(shè)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為：∵點(diǎn)在雙曲線上，∴∴所求雙曲線方程為：，即． 點(diǎn)評：一般地，在已知漸近線方程或與已知雙曲線有相同漸近線的條件下，利用雙曲線系方程求雙曲線方程較為方便．通常是根據(jù)題設(shè)中的另一條件確定參數(shù)．例2. 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點(diǎn)的報告：正西、正北兩個觀測點(diǎn)同時聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s. 已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)解：如圖:以接報中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=3404=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，yxoABCP依題意得a=680, c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB||PA|,答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.，直線過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線的距離與點(diǎn)（－1，0）到直線的距離之和求雙曲線的離心率e的取值范圍.解：直線的方程為，即 由點(diǎn)到直線的距離公式，且，得到點(diǎn)（1，0）到直線的距離，同理得到點(diǎn)（－1，0）到直線的距離由 即 于是得 解不等式，得 由于所以的取值范圍是點(diǎn)撥：本小題主要考查點(diǎn)到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運(yùn)算能力.【反饋練習(xí)】，焦點(diǎn)是，則雙曲線方程為，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，則該雙曲線的方程是4. 設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若=3,則=76. （1）求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸經(jīng)過點(diǎn)且離心率為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）求以曲線和的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線為漸近線，且實軸長為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為：，則，∴，∴，∴所求雙曲線方程為（2）∵，∴或，∴漸近線方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，由且，得．∴所求雙曲線方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，由，且，得．∴所求雙曲線方程為，直線過、兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率．分析：由兩點(diǎn)式得直線的方程，再由雙曲線中、的關(guān)系及原點(diǎn)到直線的距離建立等式，從而解出的值．解：由過兩點(diǎn)，得的方程為．由點(diǎn)到的距離為，得．將代入，平方后整理，得．令，則．解得或．而，有．故或．因，故，所以應(yīng)舍去．故所求離心率．說明：此題易得出錯誤答案：
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