1賽課求曲線方程專題復(fù)習(xí)課(編輯修改稿)
2024-08-31 07:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x21 1216 λ2－ 9＋y21 12162＝ 1 ，其中x ∈ [ － 4,4] ． 當(dāng) 0 λ 34時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在 y軸上的雙曲線滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； 當(dāng)34 λ 1 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在 x軸上的橢圓滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； ? 當(dāng) λ≥1時(shí)，點(diǎn) M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在 x軸上的橢圓． ? ? 如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有 x、 y的數(shù)值表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)整理便可得到曲線的方程，這種求曲線方程的方法我們稱之為直接法．這種方法要求我們按部就班地按其基本步驟解答，即：(1)建系設(shè)點(diǎn)； (2)找條件； (3)列方程； (4)化簡(jiǎn)方程； (5)證明．一般來(lái)說(shuō)，最后一步可省 . 變式遷移 2 如下圖所示，設(shè)動(dòng)直線 l 垂直于 x 軸，且與橢圓 x2＋ 2 y2＝ 4 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， P 是 l 上滿足 PA→ PB→＝ 1 的點(diǎn)，求點(diǎn) P 的軌跡方程． 解： 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， 則由方程 x2＋ 2 y2＝ 4 ，得 2 y2＝ 4 － x2， ∴ y ＝ 177。4 － x22， ∴ A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( x , 4 － x22) ， ( x ，－4 － x22) ，又 PA→ PB→＝ 1 ， ∴ ( 0, 4 － x22－ y ) ( 0 ，－4 － x22－ y ) ＝ 1 ， 即 y2－4 － x22＝ 1 ， ∴x26＋y23＝ 1 ， 又直線 l 與橢圓交于兩點(diǎn)， ∴ － 2 x 2 ， ∴ 點(diǎn) P 的軌跡方程為x26＋y23＝ 1( － 2 x 2 ) ． ? 【 例 3】 如右圖，已知圓 A： (x＋ 2)2＋ y2＝ 1與點(diǎn) A(－ 2,0)， B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程． ? (1)△ PAB的周長(zhǎng)為 10； ? (2)圓 P過(guò)點(diǎn) B(2,0)且與圓 A外切 (P為動(dòng)圓圓心 )； ? (3)圓 P與圓 A外切且與直線 x＝ 1相切 (P為動(dòng)圓圓心 )． 解： ( 1) 根據(jù)題意，知 | PA |＋ | PB |＋ | AB |＝ 10 ， 即 | PA |＋ | PB |＝ 6 4 ＝ | AB |， 故 P 點(diǎn)的軌跡是橢圓，且 2 a ＝ 6,2 c ＝ 4 ， 即 a ＝ 3 ， c ＝ 2 ， b ＝ 5 ， 因此其方程為x29＋y25＝ 1( y ≠ 0) ． ( 2) 設(shè)圓 P 的半徑為 r ，則 | PA |＝ r ＋ 1 ， | PB |＝ r ， 因此 | PA |－ | PB |＝ 1. 由雙曲線的定義知， P 點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支， 且 2 a ＝ 1,2 c ＝ 4 ，即 a ＝12， c ＝ 2 ， b ＝152， 因此其方程為 4 x2－415y2＝ 1( x ≥12) ． ? (3)依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn) P到定點(diǎn) A的距離等于到定直線 x＝ 2的距離，故其軌跡為拋物線，且開(kāi)口向左， p＝ 4. ? 因此其方程為 y2＝－ 8x. ? (1)本題為利
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