輪復習課件29園錐曲線方程(編輯修改稿)
2025-06-13 23:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的軌跡方程． 【 思路點撥 】 兩圓相切，圓心之間的距離與兩圓半徑有關，據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件． 課堂互動講練 【 解 】 兩定圓的圓心和半徑分別是 O1(－ 3,0)， r1＝ 1， O2(3,0)， r2＝ 9. 設動圓圓心為 M(x， y)，半徑為R， 則由題設條件，可知 |MO1|＝ 1＋ R， |MO2|＝ 9－ R， ∴ |MO1|＋ |MO2|＝ 10， 由橢圓的定義知： M在以 O O2為焦點的橢圓上，且 a＝ 5， c＝ 3， b2＝ a2－ c2＝ 25－ 9＝ 16， 課堂互動講練 故動圓圓心的軌跡方程為x 225＋y 216＝ 1. 【 名師點評 】 不明確橢圓定義或不能將題目所給信息有效轉(zhuǎn)化為橢圓定義． 課堂互動講練 主要問題有兩類，一類根據(jù)橢圓方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，另一類根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，綜合其他知識求橢圓方程或者研究其他問題，這一類利用性質(zhì)是關鍵． 課堂互動講練 考點三 橢圓的性質(zhì)及應用 課堂互動講練 例 3 橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的兩個焦點為 F 1 ( － c , 0) 、 F 2 ( c , 0) ， M 是橢圓上一點 ， 滿足 F 1 M→ F 2 M→＝ 0. 求離心率 e的取值范圍 ． 【 思路點撥 】 設 M(x， y)，由題意將 x表示為關于 e的不等式，根據(jù)橢圓上的點的取值范圍得到關于 e的不等式，即可得． 課堂互動講練 【解】 設點 M 的坐標為 ( x ， y ) ，則 F1M→＝ ( x＋ c ， y ) ， F2M→＝ ( x － c ， y ) ． 由 F1M→ F2M→＝ 0 ， 得 x2－ c2＋ y2＝ 0 ，即 y2＝ c2－ x2. ① 又由點 M 在橢圓上得 y2＝ b2(1 －x2a2 ) ， 代入 ① 得 b2(1 －x2a2 ) ＝ c2－ x2， 所以 x2＝ a2(2 －a2c2 ) ， 課堂互動講練 ∵ 0 ≤ x2≤ a2， ∴ 0 ≤ a2(2 －a2c2 ) ≤ a2， 即 0 ≤ 2 －a2c2 ≤ 1 , 0 ≤ 2 －1e2 ≤ 1 ， 解得22≤ e ≤ 1 ，又 ∵ 0 e 1 ，∴22≤ e 1 . 【 思維總結(jié) 】 橢圓的幾何性質(zhì)主要是圍繞橢圓中的 “六點 ”(兩個焦點、四個頂點 )， “四線 ”(兩條對稱軸、兩條準線 )， “兩形 ”(中心、焦點以及短軸端點構(gòu)成的三角形、橢圓上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形 )， “兩圍”(x的范圍， y的范圍 )． 而本題易忽略 y的范圍而不對 y的取值進行討論． 課堂互動講練 課堂互動講練 互動探究 在例 3 中當離心率 e 取得最小值時，點 N ( 0 , 3 ) 到橢圓上的點的最遠距離為5 2 ，求此時橢圓的方程． 解： 當離心率 e 取最小值22時， ca＝22? c ＝22a ， a2－ b2＝ c2? a2－ b2＝12a2? a2＝ 2 b2， ∴ 橢圓方程可表示為x22 b2 ＋y2b2 ＝ 1 ， 設點 H(x， y)是橢圓上的一點，則 |HN|2＝ x2＋ (y－ 3)2 ＝ (2b2－ 2y2)＋ (y－ 3)2 ＝－ (y＋ 3)2
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