1賽課求曲線方程專題復(fù)習(xí)課(參考版)
2024-08-15 07:29本頁面
【正文】 QB→＝ 4 ? ( － 1 － x )(1 － x ) ＋ ( － y )(4 － y ) ＝ 4 ， 即 x2＋ ( y － 2)2＝ 32(*) 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P ( u ， v ) ， ∵ P 、 Q 關(guān)于直線 l： y ＝ 2( x － 4) 對(duì)稱， ∴ PQ 與直線 l 垂直，于是有v － yv － x＝－12① 因?yàn)?PQ 的中點(diǎn)在 l 上，所以有y ＋ v2＝ 2(x ＋ u2－ 4) ② 由 ①② 可 解 得????? x ＝15( － 3 u ＋ 4 v ＋ 32 )y ＝15( 4 u ＋ 3 v － 16 )， 代入方程 得 ( － 3 u ＋ 4 v ＋ 32)2＋ (4 u ＋ 3 v － 16)2＝ (3 5)2， 化簡得 u2＋ v2－ 16 u ＋ 4 v ＋ 59 ＝ 0 ? ( u － 8)2＋ ( v ＋ 2)2＝ 9. 故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 ( x － 8)2＋ ( y ＋ 2)2＝ 32. 變式遷移 4 設(shè) F ( 1,0) ， M 點(diǎn)在 x 軸上， P 點(diǎn)在 y軸上，且 MN→＝ 2 MP→， PM→⊥ PF→，當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) N 的軌跡方程． 解： 設(shè) M ( x0,0) ， P (0 ， y0) ， N ( x ， y ) 為軌跡上任意一點(diǎn)， 由 MN→＝ 2 MP→得 ( x － x0， y ) ＝ 2( － x0， y0) ， ∴????? x － x0＝－ 2 x0y ＝ 2 y0，即????? x0＝－ xy0＝12y. ∵ PM→⊥ PF→， PM→＝ ( x0，－ y0) ， PF→＝ (1 ，－ y0) ， ∴ ( x0，－ y0) QB→＝ 4 ，點(diǎn) P 是點(diǎn) Q 關(guān)于直線 y ＝ 2( x － 4) 的對(duì)稱點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程． ? 思路分析： 由已知易得動(dòng)點(diǎn) Q的軌跡方程，然后找出 P點(diǎn)與 Q點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，代入即可． 解 法一 ： 設(shè) Q ( x ， y ) ， 則 QA→＝ ( － 1 － x ，－ y ) ， QB→＝ (1 － x, 4 － y ) ， 故由 QA→ PB→＝ 1 ， ∴ ( 0, 4 － x22－ y ) PB→＝ 1 的點(diǎn)，求點(diǎn) P 的軌跡方程． 解： 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， 則由方程 x2＋ 2 y2＝ 4 ，得 2 y2＝ 4 － x2， ∴ y ＝ 177。寧夏、海南卷 ) 已知橢圓 C 的中心為直角坐標(biāo)系 x Oy 的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1. (1) 求橢圓 C 的方程； (2) 若 P 為橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)， M 為過 P 且垂直于 x軸的直線上的點(diǎn)，| OP || OM |＝ λ ，求點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 思路分析： 第 ( 1) 問可根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)解 決；第 ( 2) 問設(shè)出點(diǎn) M 的坐標(biāo) ( x ， y ) ，根據(jù)幾何條件| OP || OM |＝ λ 直接將坐標(biāo)代入即可
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