第八章直線回歸與相關(guān)(編輯修改稿)
2024-08-28 13:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 a+bx。 顯然，這樣的回歸方程所反應(yīng)的兩個變量間 的直線關(guān)系是不真實(shí)的。 如何判斷直線回歸方程所反應(yīng)的兩個變量間的直線關(guān)系的真實(shí)性呢？這取決于變量 x與 y間是否存在直線關(guān)系。我們先探討依變量 y的變異，然后再作出統(tǒng)計推斷。 y?下一張 主 頁 退 出 上一張 直線回歸的變異來源 圖 84 的分解圖 )( yy? 從圖 84看到： 上式兩端平方，然后對所有的 n點(diǎn)求和，則有 )?()?()( yyyyyy ???????? 2)( yy 2)]?()?([ yyyy ????)?)(?(2)?()?( 22 yyyyyyyy ??????? ???)]())[(( xxbyyxxb ????? ?下一張 主 頁 退 出 上一張 )(? xxbybxay ?????由 于 )(? xxbyy ???所 以 )?)(()?)(?( yyxxbyyyy ????? ??于 是 所以有 （ 88） 反映了 y的總變異程度，稱為 y的總平方和，記為 SSy； 反映了由于 y與 x間存在直線關(guān)系所引起的 y的變異程度，稱為回歸平方和，記為 SSR； )()())(( xxbxxbyyxxb ??????? ??xxy SSbSPb ???? 202????????????? xxxyxyxxy SSSSSPSPSSSP??? 2)( yy ?? ??? 22 )?()?( yyyy2)(? ? yy? ? 2)?( yy 反映了除 y與 x存在直線關(guān)系以外的原因，包括隨機(jī)誤差所引起的 y的變異程度，稱為離回歸平方和或剩余平方和，記為 SSr。 （ 88）式又可表示為： （ 89） 這表明 y的總平方和剖分為 回歸平方和 與離回歸平方和兩部分。與此相對應(yīng)， y的總自由度 dfy也劃分為回歸自由度 dfr與離回歸自由度dfr兩部分，即 2)(? ? yyrRy SSSSSS ??下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 810） 在直線回歸分析中，回歸自由度等于自變量的個數(shù)， 即 ； y 的 總 自 由度 ；離回歸自由度 。于是： 離回歸均方 ， 回 歸 均 方 。 回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn) — F檢驗(yàn) rRy dfdfdf ??1?Rdf1?? ndf y 2?? ndf rrrr dfSSMS /?RRR dfSSMS /? x與 y兩個變量間是否存在直線關(guān)系，可用 F檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。 無效假設(shè) HO： ?=0，備擇假設(shè) HA： ?≠0。 在無效假設(shè)成立的條件下，回歸均方與離回歸均方的比值服從 和 的 F分布，所以可以用 df1=1,df2=n2 （ 811） 11 ?df 22 ?? ndf)2/(//????nSSSSdfSSdfSSMSMSFrRrrRRrR下一張 主 頁 退 出 上一張 來檢驗(yàn)回歸關(guān)系即回歸方程的顯著性。 回歸平方和還可用下面的公式計算得到： （ 812） (813) 根據(jù)（ 89）式，可得到離回歸平方和計算公式為： 22 )]([)?( ?? ???? xxbyySS Rxyx b S PSSbxxb ???? ? 222 )(xxyxyxxySSSPSPSSSP 2???下一張 主 頁 退 出 上一張 xxyyRyr SSSPSSSSSSSS2???? 對于 【 例 】 資料，有 而 。于是可以列出方差分析表進(jìn)行回歸關(guān)系顯著性檢驗(yàn)。 ， 3 1 4 9 1?ySS ， 6 5 8 5?xySP 6 8 5?xSS 22???xxyR SSSPSS ????? Ryr SSSSSS10212,1,111121 ????????? rRy dfdfndf表 82 四川白鵝 70日齡重與雛鵝重回歸關(guān)系 方差分析 下一張 主 頁 退 出 上一張 因?yàn)? ，表明四川白鵝 70日齡重與雛鵝重間存在極顯著的直線關(guān)系。 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) — t檢驗(yàn) 采用回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) — t檢驗(yàn)也可檢驗(yàn) x與 y間是否存在直線關(guān)系?；貧w系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的無效假設(shè)和備擇假設(shè)為 HO： β＝ 0， HA： β≠0。 , )10,1( ???? PFF t 檢驗(yàn)的計算公式為： （ 814）
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