第八章參數(shù)估計(jì)方法(編輯修改稿)
2024-08-28 13:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2?因而 7717? 2 .σ ?7972?2? 22 .σσ τ ??)(? 2 ?????% ??? ??? 222222222 ???????? ??????????eggpgh第三節(jié) 最小二乘法 從總體中抽出的樣本觀察值與總體平均數(shù)是有差異的，這種差異屬于 抽樣誤差 。因而，在總體平均數(shù)估計(jì)時(shí)要盡可能地降低這種誤差，使總體平均數(shù)估計(jì)值盡可能好。 參數(shù)估計(jì)的最小二乘法就是基于這種考慮提出的。 基本思想 是使誤差平方和最小，達(dá)到在誤差之間建立一種平衡，以防止某一極端誤差對(duì)決定參數(shù)的估計(jì)值起支配地位。這有助于揭示更接近真實(shí)的狀況。 具體方法 是為使誤差平方和 Q為最小，可通過(guò)求 Q對(duì)待估參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于 0，以求得參數(shù)估計(jì)量。 [例 ] 用最小二乘法求總體平均數(shù) 的估計(jì)量。 ? 若從平均數(shù)為的總體中抽得樣本為 y y y … 、yn，則觀察值可剖分為總體平均數(shù)與誤差 ei 之和， ii ey ?? ? 總體平均數(shù)的最小二乘估計(jì)量就是使 yi 與間的誤差平方和為最小，即 ? ?????ni iiyeQ12 ? 2)( ?為最小。 為獲得其最小值，求 Q對(duì)的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于 0，可得： 0)(2 ?? ??????niiyQ1???即總體平均數(shù)的估計(jì)量為： ???niiyn1? 1? 因此，算術(shù)平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計(jì)。這與矩法估計(jì)是一致的。 估計(jì)離均差平方和 的數(shù)學(xué)期望： 2)( yyQi ????222222222)1(])()([])())((2)([])([])([)(????????????????????????????????n/nn σn σμyμyEμyμyμyμyEyyEyyEQEiiiii因而， 估計(jì)為： 2?1)(1)( ?????? ? nyynQ i 22 )(??與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。 [例 ] 求例 1個(gè)小區(qū) (表)的最小二乘估計(jì)量和估計(jì)值。 iy表 生長(zhǎng)素處理豌豆的試驗(yàn)結(jié)果 處 理 (A) 組 (B) 總和 Ti 平均 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 對(duì)照 (CK) 60 62 61 60 243 赤霉素 65 65 68 ye 198+ye 動(dòng)力精 63 61 61 60 245 吲哚乙酸 64 67 63 61 255 硫酸腺嘌吟 62 65 62 64 253 馬來(lái)酸 61 62 62 65 250 總和 T j 375 382 377 310+ye T=1444+ye 從第 6章可知，這種資料模式的線性模型為： 按照最小二乘法的估計(jì)原理，使 ijjiijy ???? ????? ??ai i10? ? ??rj j10? 該模型的約束條件為： ， 和誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。 ? ? ? ??????? ?ai jiijrj ijyQ1212? )( ????為最小時(shí)可以求出效應(yīng)和缺失小區(qū) ye的估計(jì)量，即 ?????????????? ? ???????? ????????? ????????? ? ????????? ???? ?airjjiijeaijiijjrjjiijiairjjiijyyQyQyQyQ1 1111 10)2(01))(2(01))(2(01))(2(???????????????從而，最小二乘估計(jì)量分別為： ? ?????????? ??????? ??????? ???? ???? ??? ??? ?airjijaiijrjijjieairjijaiijjjairjijrjijiiairjijyaryayryyaryayyyaryryyyary1 1111 111 111 1???????11111111??????因而表 ，缺失小區(qū)的估計(jì)值可由下式求出： 64144463104198??????? eeeeyyyy解上述方程，最小二乘估計(jì)值為： ye=。 缺區(qū)估計(jì)是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。不過(guò)，試驗(yàn)中盡可能不要缺區(qū)，因?yàn)槿眳^(qū)估計(jì)盡管可以估計(jì)缺區(qū)的值，但是誤差的自由度將減少，本試驗(yàn)的誤差自由度將減少 1。 一般地，若 m個(gè)自變數(shù) x x x … 、 xm與依變數(shù) y存在統(tǒng)計(jì)模型關(guān)系 ???? ?? )，，；，，( kmxxxfy ?? 2121(89) k??? ，， ?21其中， 為待估參數(shù)。 通過(guò) n次觀測(cè) (n＞ k)得到 n組含有 x1i , x2i ,…x mi ,
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