【文章內(nèi)容簡介】 然能夠代表總體的看法是沒有根據(jù)的 。 一、 概率與概率分布 隨機現(xiàn)象具有一定條件呈現(xiàn)多種可能結(jié)果的特性。 人們把隨機現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱作隨機事件。 概率是與隨機現(xiàn)象相聯(lián)系的一個概念。所謂隨 機現(xiàn)象，是指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象，如即 將出生的嬰兒是男還是女？一枚硬幣落地后其正面是 朝上還是朝下 ?等等。所有這些現(xiàn)象都有一個共同的 特點，那就是在給定的條件下，觀察所得的結(jié)果不止 一個。隨機現(xiàn)象具有非確定性，但內(nèi)中也有一定的規(guī) 律性。例如，事先我們雖不能準確預(yù)言一個嬰兒出生 后的性別，但大量觀察，我們會發(fā)現(xiàn)婦女生男生女的 可能性幾乎一樣大，都是 ，這就是概率。 在推論統(tǒng)計中，概率和概率分布有著如同在描述 統(tǒng)計中頻率和頻率分布那樣的聯(lián)系?，F(xiàn)在我們了解了 概率，但作為隨機現(xiàn)象的全面研究這還很不夠。概率 僅僅告知了隨機現(xiàn)象某一局部結(jié)果發(fā)生的可能性有多 大，概率分布則要在滿足完備性 (窮舉 )和互不相容性 (互斥 )的前提下，回答隨機現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié) 果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。 以拋擲十枚硬幣的試驗為例，概率分布不僅要回答一共會發(fā)生 11種結(jié)果（從沒有一枚硬幣面朝上到所有十枚硬幣面全朝上），而且要回答全部 11種結(jié)果發(fā)生的概率各是多少。解決了這兩個問題，我們的討論便從概率過渡到了概率分布。在推論統(tǒng)計中，我們是用先驗的方法就每種結(jié)果算出其發(fā)生概率的，將它們一一列入右表中，我們就得到了著名的二項分布。 硬幣面朝上數(shù) x 概率 P(X=x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .001 .010 .044 .117 .205 .246 .205 .117 .044 .010 .001 合 計 X = x i x1 x 2 x 3 … x i … x n 合計 P(X= x i ) P1 P2 P3 … Pi … Pn 推而論之，在隨機變量的取值滿足 “ 窮舉 ” 和 “ 互斥 ” 這兩個原則的前提下，概率分布的一般形式如下表所示。 現(xiàn)在我們把這里所講的概率分布與前面所講的頻數(shù)分布、頻率分布作一比較，就會發(fā)現(xiàn)它們 (特別是頻率分布與概率分布 )非常相象。當然概率分布與頻率分布也有重要區(qū)別：頻率分布是經(jīng)資料整理而來的，概率分布卻是先驗的；頻率分布隨樣本不同而有所不同，概率分布卻是唯一的；頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布，概率分布則沒有。因此頻率分布被稱為隨機變量的統(tǒng)計分布或經(jīng)驗分布，而概率分布則被稱為隨機變量的理論分布。 二、分布函數(shù) 但是我們要特別注意，上表實際上只對離散型隨機變 量適用。因為離散型隨機變量 X的取值是可數(shù)的。如果對 X 的每個可能取值 xi計算其實現(xiàn)的概率 Pi ，我們便得到了離 散型隨機變量的概率分布，即 像上面拋擲硬幣的試驗一樣，有許多隨機現(xiàn)象只包含 兩個結(jié)果，如男與女、是與非、生與死、同意與不同意、 贊成與反對等等。通常，我們把其中比較關(guān)注那個結(jié)果稱 為 “ 成功 ” ，另一個結(jié)果則稱為 “ 失敗 ” 。每當試驗如同拋擲 硬幣，是在相同的條件下重復(fù) n次，考慮的是 “ 成功 ” 的概 率 p（ “ 失敗 ” 的概率 q＝ 1―p），且各次試驗相互獨立，我 們都可以得到由二項分布所示的概率分布。二項分布是最 著名的離散型隨機變量的概率分布，它的數(shù)學(xué)表達式是 連續(xù)型隨機變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論 其概率是無意義的。為此，我們引進概率密度 的概念來表 達連續(xù)型隨機變量的概率分布。 以頻率密度為縱坐標， 可以作出頻率分布直方圖。 類似地，以概率密度 為 縱坐標，可以作出概率密度 曲線。所不同的是，概率密 度由于對組距求了 Δx→0 的 極限，其圖形乃平滑曲線。 (x) j 這樣一來，隨機變量 X取值在區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率等于概率密度曲線 下面 x1與 x2兩點之間面積，即 所以 有概率密 度的性質(zhì) 因為概率不可能是負的，且 為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機變量的概率進行研究 引入分布函數(shù) 的概念，它被定義為 有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機變量 X取值在 任意區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率，即 連續(xù)型隨機變量 離散型隨機變量 和 (離散變量 )或 (連續(xù)變量 )的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于， 累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為 ―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。 [例 ] 求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計 P(X) F(X) —— [例 ] 某特定社區(qū)人口的 10%是少數(shù)民族，現(xiàn)隨機 抽取 6人，問其中恰好 2人是少數(shù)民族的概率是多少？ [解 ] 根據(jù)附表 3求得 B (2； 6， )＝ F(2) ―F(3 ) ＝ ―＝ 三、數(shù)學(xué)期望與變異數(shù) 在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù) (或頻率 )分布 后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認識，分別研究了集中趨勢和離中 趨勢。而對集中趨勢和離中趨勢量度，我們分別得到了平均指標 和變異指標，其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標準差。很顯 然，現(xiàn)在當我們面對隨機變量的理論分布時，也要對隨機變量的 集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出 數(shù)學(xué)期望 和 變異 數(shù) 這兩個概念。 所謂 數(shù)學(xué)期望 ，是反映隨機變量 X取值的集中趨勢的理論均 值 (算術(shù)平均 )，記作 E(X)。 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 [例 ] 一家保險公司在投保的 50萬元人壽保險的保單中，估計每 1000 保單每年有 15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期 望值為 200元，試求每一保單的保費。 [解 ] 依題意知，利潤的期望值 E(X)＝ 200(元 ) 設(shè) x1表示保費， x2為理賠費 [x2＝ (500000 x1)]，則可得 所以， x1＝ 7700(元 )。即每一保單每年的保費應(yīng)定在 7700元。 ?? xPXE )(2 0 0)]5 0 0 0 0 0([0 1 8 11 ????? xx 數(shù)學(xué)期望也常常記為 μ，在推論統(tǒng)計中同總體均值的記號，而 則 在推論統(tǒng)計中被作為樣本均值的記號。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯 一的，不過它是一個先驗的理論值。由于它是用隨機變量各取值分別乘以 取值的概率來計算的，因此數(shù)學(xué)期望又可稱為隨機變量的加權(quán)算術(shù)平均 數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機性。在統(tǒng)計推論中， E(X) ， 是 “ 估計 ” 。 和 都是為 μ服務(wù)的， E(X)是“期望” 數(shù)學(xué)期望的幾個基本性質(zhì)： （ 1）常數(shù) c的期望等于該常數(shù)，即 E(c)＝ c （ 2）常數(shù) c與隨機變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積， 即 E(cX)＝ cE(X) （ 3）兩個隨機變量之和的期望等于它們的期望之和， 即 E (X+Y)＝ E(X)+ E(Y) （ 4）兩個獨立隨機變量乘積的期望等于它們的期望之積， 即 E(XY)＝ E(X)E(Y) 數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量的集中趨勢，但僅知道集中趨勢還不 夠，還應(yīng)該知道隨機變量在均值周圍的離散程度，即離中趨勢。 變 異數(shù) 是綜合反映隨機變量取值分散程度的指標，其功能相當于描述 統(tǒng)計中已討論過的方差及標準差，記用 D(X)。 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 由于變異數(shù)的單位是隨機變量單位的平方。為了使隨機變量變異指標的單位與其本身的單位相同，將 D(X)開方 (取正值 )稱作隨機變量 X的標準差 σ ；同時為了更明確的表示 D(X) 與標準差之間只是開方關(guān)系，索性把 D(X)寫成 σ 2，并直接稱 D(X)為隨機變量 X的方差。于是有 很顯然隨機變量 X的變異數(shù)也可以寫成 簡化公式 當然不難理解，在推論統(tǒng)計中隨機變量變異數(shù)的記號常 常同 總體方差 的記號，即用 σ2表示之。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號。變異數(shù)和總體方差一樣，都是唯一的，不過它是 一個先驗的理論值。樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但 它具有隨機性。 試求兩顆骰子點數(shù)的變異數(shù) D(X) 變異數(shù)的幾個基本性質(zhì)： (1)常數(shù) c的方差等于 0，即 D(c)＝ 0 (2)常數(shù) c與隨機變量 X之積的方差，等于隨機變量 X 的方差 c2倍，即 D(cX)＝ c2D(X) (3)隨機變量與常數(shù)之和的方差等于隨機變量的方差， 即 D(X+c)＝ D(X) (4)兩個獨立隨機變量之和的方差等于它們的方差和， 即 D(X+Y)＝ D(X) +D(Y) 四、假設(shè)檢驗與二項分布的應(yīng)用 對于一枚硬幣被重復(fù)拋擲 10次的二項試驗，經(jīng)驗告訴我們，一 共有 11種可能的結(jié)果，而且