【正文】 和 (離散變量 )或 (連續(xù)變量 )的關(guān)系，就像向上累計(jì)頻率和頻率的關(guān)系一樣。如果對 X 的每個(gè)可能取值 xi計(jì)算其實(shí)現(xiàn)的概率 Pi ，我們便得到了離 散型隨機(jī)變量的概率分布，即 像上面拋擲硬幣的試驗(yàn)一樣，有許多隨機(jī)現(xiàn)象只包含 兩個(gè)結(jié)果，如男與女、是與非、生與死、同意與不同意、 贊成與反對等等。解決了這兩個(gè)問題，我們的討論便從概率過渡到了概率分布。所謂隨 機(jī)現(xiàn)象，是指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象，如即 將出生的嬰兒是男還是女？一枚硬幣落地后其正面是 朝上還是朝下 ?等等。 X )( XX ? 2)( XX ? 2X 7 2 8 1 8 6 6 9 5 7 1 8 13 4 16 1 6 4 16 9 1 6 25 6 51 84 65 61 73 95 47 61 32 49 36 5 0 50 6 27 151 對于分組資料 計(jì)算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差 [例 ] 調(diào)查大一男生 60人的身高情況如前表所示，求他們身高的 標(biāo)準(zhǔn)差。 [解 ] 3. 標(biāo)準(zhǔn)差（ S) 在統(tǒng)計(jì)分析中，對于定距變量，用標(biāo)準(zhǔn)差來作為離中趨勢統(tǒng)計(jì)量是最基本的做法。 1. 全距 (R) R =Xmax– Xmin [例 ] 求 74， 84， 69， 91， 87， 74， 69這些數(shù)字 的全距。 對于分組資料 單項(xiàng)式： 觀察頻數(shù)分布 (或頻率分布 ) 組距式： Lo為眾數(shù)組下限； Δ１ 為眾數(shù)組頻數(shù)與前一組頻數(shù)之差； Δ２ 為眾數(shù)組頻數(shù)與后一組頻數(shù)之差； ho為眾數(shù)組組距。 [解 ] 第一種方法 ＝ 166＋ 4 ＝ 168． 5(厘米 ) 25 372/100 ?16202/60 ?請你用第二種方法來做一下 中位數(shù)的性質(zhì) (1)各變量值對中位數(shù)之差的絕對值總和， 小于它們對任何其他數(shù)的絕對值總和。因?yàn)榫又械臄?shù)值不存在，按慣例，取第 N/2位和第（ N+1） /2 位上的兩個(gè)變量值的平均作為中位數(shù)。 fXfX間距 頻數(shù)（ f） 組中值（ X) P f X P X 150―154 154―158 158―162 162―166 166―170 170―174 174―178 178―182 1 2 7 10 16 12 7 5 152 156 160 164 168 172 176 180 152 312 1120 1640 2688 2064 1232 900 合計(jì) 60 —— 10108 算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì) 各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于 0。由于對于總體的影響要 由頻數(shù) ( f )大小所決定，所以 f 也被稱為權(quán)數(shù)。 調(diào)查數(shù)據(jù)資料經(jīng)分類整理后 ， 已經(jīng)使雜亂無章的原始數(shù)據(jù)資料成為有系統(tǒng) 、 有條理的數(shù)據(jù)資料 ， 這就為統(tǒng)計(jì)分析中提取各種有用信息打下了基礎(chǔ) 。直接把矩形圖各矩形頂部的中點(diǎn)用直線連接起來，并 把原來的矩形抹掉，就得到了折線圖。 對于連續(xù)變量的分布，可以用矩形圖表示。 某校大一 60名男生身高頻率分布表 累計(jì)頻數(shù)（ F） ? 向上累計(jì) ——以變量數(shù) 列首組的頻數(shù)為始點(diǎn)，逐 個(gè)累計(jì)各組的頻數(shù)，展示 小于該組上限的頻數(shù)和。由于身 高（ X）是連續(xù)變量，我們?nèi)绻x 4cm為間距，我們可以直接把序列資 料編制成為含有 8個(gè)組的 頻數(shù)分布表（頻數(shù)用 f 表示）。 經(jīng)過調(diào)查收集上來的資料雖然是大量的，卻很可能是雜亂無章的，用它來直接做分析往往有困難。第九章 資料的統(tǒng)計(jì)分析 在調(diào)查結(jié)束后 ， 我們必須對收集到的資料進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì) 的整理 。所謂統(tǒng)計(jì)分組，就是 將情況相同或相近的數(shù)據(jù)資料 加以分門別類的歸并，使之簡 單明晰，以便為統(tǒng)計(jì)分析中提 取各種有用信息打下基礎(chǔ)。為此，我們先將它們由低到高排成序列資料： if身高組 (cm) 人數(shù)（ ） 150―154 154―158 158―162 162―166 166―170 170―174 174―178 178―182 1 2 7 10 16 12 7 5 合計(jì) 60 將原始資料編排成序列資料，實(shí)際上是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)匯總。比重都小于 1，經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)來表達(dá)，它反映了對象總體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。最常用的有直方圖、條形 圖、折線圖、曲線圖等。 0204060小學(xué) 中學(xué) ?？?大學(xué)2．方條圖 3．折線圖 表示頻數(shù)（或頻率）分布的另一種相似的圖形是折線 圖。描述統(tǒng)計(jì)所用數(shù) 學(xué)較少，實(shí)用性又很強(qiáng)，因 此在社會(huì)調(diào)查研究中使用的 機(jī)會(huì)很多。 很顯然，算術(shù)平均數(shù)不僅受各變量值 (X)大小的影響， 而且受各組單位數(shù) (頻數(shù) )的影響。 [例 ] 求下表（ 組距數(shù)列） 所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 。 （ 2）、如果總體單位數(shù)為偶數(shù)。 [例 ] 調(diào)查大一男生 60人的身高如前表，求他 們身高的中位數(shù)。首先，將所有數(shù)據(jù)順序排列；然后，只要觀察到某些變量值 (與相鄰變量值相比較 )出現(xiàn)的次數(shù)(或頻數(shù) )呈現(xiàn) “ 峰 ” 值，這些變量值就是眾數(shù)。 例如有 A、 B、 C、 D四組學(xué)生各 5人的成績?nèi)缦拢? A組： 60 ， 60， 60， 60， 60 B組： 58， 59， 60， 61， 62 C組： 40， 50， 60， 70， 80 D組： 80， 80， 80， 80， 80 數(shù)據(jù)顯示，平均數(shù)相同，離勢可能不同；平均數(shù)不同，離勢可能相同。 [例 ] 調(diào)查某小區(qū) 50戶家庭的人口情況如表 ，求異眾比率。 方差 : 標(biāo)準(zhǔn)差 : [例 ] 求 7 8 8 6 57 這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差。 概率是與隨機(jī)現(xiàn)象相聯(lián)系的一個(gè)概念。 以拋擲十枚硬幣的試驗(yàn)為例，概率分布不僅要回答一共會(huì)發(fā)生 11種結(jié)果（從沒有一枚硬幣面朝上到所有十枚硬幣面全朝上），而且要回答全部 11種結(jié)果發(fā)生的概率各是多少。因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量 X的取值是可數(shù)的。所不同的是，概率密 度由于對組距求了 Δx→0 的 極限，其圖形乃平滑曲線。 所謂 數(shù)學(xué)期望 ，是反映隨機(jī)變量 X取值的集中趨勢的理論均 值 (算術(shù)平均 )，記作 E(X)。在統(tǒng)計(jì)推論中， E(X) ， 是 “ 估計(jì) ” 。變異數(shù)和總體方差一樣，都是唯一的，不過它是 一個(gè)先驗(yàn)的理論值。所有的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)都包含某些特定的步驟，這里先列示如下： 1．建立假設(shè) 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是將抽樣結(jié)果和抽樣分布相對照而作出判 斷的工作。如果前提假 設(shè)變動(dòng)了，還可以求出其他形式的概率分布，如正態(tài) 分布、泊松分布、卡方分布等等，它們都有特定的方 程式。 遺憾的是，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完 全避免第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，也不可能同時(shí)把犯兩 類錯(cuò)誤的危險(xiǎn)壓縮到最小。 由 α所決定的否定域與接受域之間的分界值被 稱為臨界值， 如 Z α 。 5．判定 假設(shè)檢驗(yàn)系指拒絕或保留零假設(shè)的判斷，又稱顯著性檢 定。例如測量誤差、智 商以及人體的身高體重、運(yùn)動(dòng)員的成績等等，都可以用 正態(tài)分布進(jìn)行描述。 ） 2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 Z分?jǐn)?shù)（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量） 用 Z分?jǐn)?shù)表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為 一般正態(tài)分布的表示 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表示 3. 正態(tài)曲線下的面積 但積分畢竟太麻煩了，更何況許多人對積分運(yùn)算不熟悉，為 此須計(jì)算出現(xiàn)成的數(shù)值表供使用者查找。 )，試求 P(X≤143)。 由于即將討論的正態(tài)檢驗(yàn)幾乎都要涉及概率分布的尾端， 所以此例說明的是一個(gè)非常普遍的問題。其具體內(nèi) 容是：頻率穩(wěn)定于概率，平均值穩(wěn)定于期望值。②計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不再像在應(yīng)用二項(xiàng)分布 時(shí)那樣，可以不勞而獲了。 例 ] 一位研究者試圖檢驗(yàn)?zāi)骋簧鐣?huì)調(diào)查所運(yùn)用的抽樣程序，該 項(xiàng)調(diào)查是由一些缺乏經(jīng)驗(yàn)的訪問員進(jìn)行的。過去的統(tǒng)計(jì)資料表明，該街區(qū)的家庭收入是 7500 元，標(biāo)準(zhǔn)差是 1500元；此次調(diào)查共抽取 100個(gè)家庭，樣 本平均收入是 7900元。但對于小樣本， Z檢驗(yàn)就要用 t 檢驗(yàn)來 替代了，而且還必須嚴(yán)格限于正態(tài)總體。 這體現(xiàn)出了抽樣調(diào)查的基本意義 。 一、有關(guān)區(qū)間估計(jì)的幾個(gè)概念 1. 置信區(qū)間 ：區(qū)間估計(jì)是求所謂置信區(qū)間的方法。 概率度： Z在參數(shù)估計(jì)中被稱為概率度，其大小由 決定 . 顯著性水平、置信水平、概率度之間 的關(guān)系： =， =， Z α/2= =， =， Z α/2= =， =， Z α/2= 區(qū)間估計(jì)的做法： 從點(diǎn)估計(jì)值開始，向兩側(cè)展 開一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計(jì)總體參數(shù)很可能 就包含在這個(gè)區(qū)間之