【正文】 的。對那些反映標志值集中趨勢和離中趨勢的綜 合指標，尤其對均值和標準差 (或方差 )。 均值 標準差 總體分布 樣本分布 抽樣分布 抽樣分布特指樣本統(tǒng)計量作為隨機變量的概率分布。用數(shù)學語言來說，抽樣分布是運用數(shù)理統(tǒng)計的方法，把具體概率賦予樣本的所有可能結(jié)果的一種理論分布。 在一個總體中可以產(chǎn)生無數(shù)個樣本，所以樣本統(tǒng)計量（比如均值 ） 必定是隨機變量。 這樣就提出一個問題：如果樣本統(tǒng)計量作為隨機變量，它的概率分布是什么樣呢？ 我們知道，概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均 結(jié)果的穩(wěn)定性的定理，是著名的 大數(shù)定理 。其具體內(nèi) 容是：頻率穩(wěn)定于概率，平均值穩(wěn)定于期望值。但 是，大量隨機現(xiàn)象的穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在平均結(jié)果上， 同時也表現(xiàn)在分布上，這就是 中心極限定理 所要闡明 的內(nèi)容。顯然，推論統(tǒng)計需要有一座能夠架通抽樣調(diào) 查和抽樣分布的橋梁。 中心極限定理 告訴我們：如果 從任何一個具有均值 μ和方差 σ2的總體 (可以具有任 何分布形式 )中重復抽取容量為 n的隨機樣本，那么當 n變得很大時，樣本均值的抽樣分布接近正態(tài)，并具 有均值 μ和方差 。 (2)由于抽樣分布的標準 差要比總體標準差小，并且 ，所以如右圖所 示，樣本容量越大，抽樣分 布的峰態(tài)愈陡峭，由樣本結(jié) 果來推斷總體參數(shù)的可靠性 也隨之提高。 無疑，中心極限定理大大拓展了正態(tài)分布的適用面，同時我們得到了以下重要信息： (1)雖然樣本的均值可能和總體均值有差別，但我們可期望這些將聚集在 μ的周圍。因此均值抽樣分布的算術(shù)平均數(shù)能和總體的均值很好地重合，這就是為什么總體均值和抽樣分布的均值用同一個 μ來 表示的緣故。 統(tǒng)計檢驗應用正態(tài)分布和二項分布有兩點區(qū)別：①抽樣分布 在這里是連續(xù)的而非離散的，否定域的大小可以和顯著性水平的 要求精確地一致起來。②計算檢驗統(tǒng)計量不再像在應用二項分布 時那樣，可以不勞而獲了。很顯然，為了能使用現(xiàn)成的正態(tài)分布 表，關(guān)鍵是要從樣本資料中計算出在 N(0， 1)形式下的統(tǒng)計量 Z， 再根據(jù) Z是否落在否定城內(nèi)而對被檢驗假設(shè)的取舍作出決定。 在上一節(jié)我們曾引出 。 Z 的這種形式適用于 N(μ， σ2)的總體，但并不適用于取正態(tài)的抽樣分布。正如我們 反復強調(diào)的那樣，統(tǒng)計檢驗單純依靠樣本自身是得不出結(jié)果的， 必須首先在一系列假設(shè)的基礎(chǔ)上求出抽樣分布。如果這些假設(shè)實 際上正確，那么抽樣分布將告訴我們得到一個給定的的可能性是 多少。在抽樣分布中，隨機變量的取值是每個 ，均值是 μ， 標準差是 。因此 Z 如果作為檢驗統(tǒng)計量，應該用 替換 X，用 替換 σ， μ不動，因而有 。 例 ] 一位研究者試圖檢驗某一社會調(diào)查所運用的抽樣程序，該 項調(diào)查是由一些缺乏經(jīng)驗的訪問員進行的。研究者懷疑屬于干部和 知識分子的家庭抽得過多。過去的統(tǒng)計資料表明，該街區(qū)的家庭收 入是 7500元，標準差是 1500元；此次調(diào)查共抽取 100個家庭，樣本平 均收入是 7900元。問：該研究人員是否有理由懷疑該樣本有偏估？ （選用 α=） 現(xiàn)在我們來看中心極限定理在假設(shè)檢驗中的應用。雖然不必每一次都明寫出來，但本章前面所述的檢驗程序的每一步都不能缺少。把從樣本調(diào)查中得到的檢驗統(tǒng)計量與假設(shè)的總體均值作比較，我們很快發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的重要的實用價值。 1． σ已知，對總體均值的檢驗 實際上是要檢驗“隨機抽樣”這個零假設(shè) [例 ] 一位研究者試圖檢驗某一社會調(diào)查所運用 的抽樣程序，該項調(diào)查是由一些缺乏經(jīng)驗的訪問員進 行的。研究者懷疑屬于干部和知識分子的家庭抽得過 多。過去的統(tǒng)計資料表明，該街區(qū)的家庭收入是 7500 元，標準差是 1500元；此次調(diào)查共抽取 100個家庭，樣 本平均收入是 7900元。問：該研究人員是否有理由懷 疑該樣本有偏估？（選用 α=） 第五節(jié) 總體均值和成數(shù)的單樣本檢驗 1． σ已知，對總體均值的檢驗 實際上是要檢驗“隨機抽樣”這個零假設(shè) [解 ] 根據(jù)題意，可做如下假設(shè)，并做單側(cè)檢驗 因 α=，查表得 Z =，故否定域為 根據(jù)中心極限定理，檢驗統(tǒng)計量 計算得 檢驗統(tǒng)計量 Z的計算表明，樣本均值比總體均值大 2． 67個 標準差（ ），超過了顯著性水平規(guī)定的臨界值，調(diào)查者應該 否定 “ 隨機抽樣 ” 的零假設(shè)。也就是說，由于抽樣在程序上不合要 求，這項社會調(diào)查有必要重新組織。 中心極限定理實際解決了大樣本均值的檢驗問 題。假定樣本比較大 (n＞ 50，這在社會調(diào)查中一般 都能得到滿足 )，樣本均值的抽樣分布就與總體分布 無關(guān)，而服從正態(tài)分布。當 H0成立時，樣本均值的 觀察值比較集中地分布在總體均值 μ周圍；當 H0不 成立時， 將對 μ有明顯偏離的趨勢。因而，我們 可以在選定的顯著性水平上，通過計算檢驗統(tǒng)計量 Z，對零假設(shè)進行檢定。 注：當 σ未知時，只要樣本量很大，就可用 S 來代替 σ 。但對于小樣本， Z檢驗就要用 t 檢驗來 替代了，而且還必須嚴格限于正態(tài)總體。 [解 ] 根據(jù)題意，可作如下的假設(shè)，并做雙側(cè)檢驗 H0： μ＝ 2330元 H1： μ≠2330元 因 α＝ ，查正態(tài)分布表得 Zα/2＝ ，故否定域 |Z|≥ 計算檢驗統(tǒng)計量 Z＝ ≈ ＝ ＝ ＜ 1． 96 所以，不能認為該單位人均月收入不是 2330元，即不能 認為該統(tǒng)計報表有誤。五、正態(tài)分布與標準正態(tài)分布 [例 ] 某單位統(tǒng)計報表顯示，人均月收入為 2330元，為了驗證 該統(tǒng)計報表的正確性，作了共 81人的抽樣調(diào)查，樣本人均月收入 為 2350元，標準差為 150元，問能否說明該統(tǒng)計報表顯示的人均 收入的數(shù)字有誤 (取顯著性水平 α＝ )。 此乃“總體均值” 零假設(shè)的檢驗 七、點估計與區(qū)間估計 在推論統(tǒng)計中 ， 相對于假設(shè)檢驗 ， 參數(shù)估計要容易理解得多 。 所謂參數(shù)估計 ， 即由樣本的指標數(shù)值推斷總體的相應的指標數(shù)值 ， 它包括點估計和區(qū)間估計 。 例如 ，某高校大一 60名男生如果是一個隨機產(chǎn)生的樣本 ， 那么我們肯定是在做抽樣調(diào)查 ， 即這個樣本是從該校全部大一男生這個總體中通過隨機抽樣產(chǎn)生的 。 這樣一來 ， 那一組調(diào)查來的身高數(shù)據(jù)以及通過這一組數(shù)據(jù)計算出來的平均身高等就對總體有很好的代表性 。 換句話說 ， 我們計算出這 60個男生的平均身高是 ， 那么根據(jù)大數(shù)定理我們可以用這個統(tǒng)計量來估計全校大一男生的平均身高 。 這體現(xiàn)出了抽樣調(diào)查的基本意義 。 不過，這一參數(shù)估計只是點估計。所謂點估計，就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出一個單一的估計值，用來估計總體的參數(shù)值。點估計很方便，但當我們要關(guān)心這一估計的可靠性時，問題就出來了。也就是說，我們根據(jù)樣本均值是不可能肯定該校大一男生的平均身高就是 的。這樣一來，區(qū)間估計的重要性就顯現(xiàn)出來了。 所謂區(qū)間估計，就是計算抽樣平均誤差，指出估計的可信程度，進而在點估計的基礎(chǔ)上，確定總體參數(shù)的所在范圍或區(qū)間。很顯然，如果我們在 減一個（比如 ），現(xiàn)在估計全校大一男生的平均身高在 168~ 169厘米之間，那么估計到的把握就會一下子提高許多。 一、有關(guān)區(qū)間估計的幾個概念 1. 置信區(qū)間 ：區(qū)間估計是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計到的信心而在點估計兩邊設(shè)置的估計區(qū)間。 2. 顯著性水平 ：用置信區(qū)間來估計的不可靠程度。 區(qū)間估計的任務(wù)是，在點估計值的兩側(cè)設(shè)置一個區(qū)間，使得總體參數(shù)被估計到的概率大大增加。可靠性和精確性 (即信度和效度 )在區(qū)間估計中是相互矛盾的兩個方面。 3. 置信度 （水平） ：用置信區(qū)間估計的可靠性（把握度） 4. 抽樣平均誤差 與 概率度 Z 抽樣平均誤差 ：樣本均值抽樣分布的標準差。反映在參數(shù)周圍抽樣平均值的平均變異程度。 越大，樣本均值越分散。 概率度： Z在參數(shù)估計中被稱為概率度，其大小由 決定 . 顯著性水平、置信水平、概率度之間 的關(guān)系： =， =， Z α/2= =， =， Z α/2= =， =， Z α/2= 區(qū)間估計的做法： 從點估計值開始，向兩側(cè)展 開一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計總體參數(shù)很可能 就包含在這個區(qū)間之內(nèi)。 對參數(shù) 的區(qū)間估計的步驟： 1. 首先從總體抽取一個樣本，根據(jù)收集的樣本資 料求出它 的均值。 2. 根據(jù)合乎實際的置信水平查表求得概率度 3. 根據(jù)總體標準差和樣本容量求出抽樣平均誤差 4. 以均值為基準，向兩側(cè)展開 倍抽樣平均誤差 的區(qū)間。 [例 ] 從某校隨機地抽取 100名男學生，測得平均身 高為 170厘米，標準差為 ，試求該校學生平均身 高 95％的置信區(qū)間。 [解 ] 按題意，此為大樣本，且總體方差未知，又 ＝ 100， ＝ 170， ＝ ， ＝ ． 查表得 ＝ ，代入公式有 ＝ 170177。 ＝ 170177。 因此，有 95％的把握，該校學生的平均身高在 ~ 。