【正文】 ] ＝ ＝ NXX ??NXX ??769748791698574 ??????X 加權(quán)算術(shù)平均數(shù) (對(duì)于分組資料 ) 注意：對(duì)求和符號(hào)，此時(shí)流動(dòng)腳標(biāo)的變動(dòng)范圍是 1,2,3 … ,n， n是組數(shù)，而 不是總體單位數(shù)。 人口數(shù)（ X） 戶數(shù) (f) f X 頻率 (P) 2 3 4 5 6 7 8 5 8 16 10 6 4 1 10 24 64 50 36 28 8 合計(jì) 50 220 人）(50220?????ffXX 對(duì)于 組距數(shù)列（ 參見下表） ，要用每一組的組中值 權(quán)充該組統(tǒng)一的變量值。 對(duì)未分組資料 (1)、先把所有數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果總體單位數(shù)為奇數(shù)，則取第（ N+1）/2 位上的變量值為中位數(shù) 。 中 位 數(shù) 對(duì)于分組資料 （ 2） 組距數(shù)列 按中位數(shù)所在組的下限： 按中位數(shù)所在組的上限： 當(dāng)根據(jù)組距數(shù)列求中位數(shù)時(shí)，要采用所謂的比例插值法：先根據(jù) N／ 2在累計(jì)頻數(shù)分布中找到中位數(shù)所在組，然后假定該組中各變量值是均勻分布的，再用以下任何一種方法求出中位數(shù) (注意：此處用的是向上累計(jì) )。 對(duì)于未分組資料 直接觀察。離勢(shì)小，平均數(shù) 的代表性高；離勢(shì)大，平均數(shù)代表性低。 2. 異眾比率 (VR) 所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù) 的比值，用 VR來表示 其中： 為眾數(shù)的頻數(shù)； 是總體單位數(shù) 異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。將方差開平方后所得的值就是標(biāo)準(zhǔn)差。 人們把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱作隨機(jī)事件。概率 僅僅告知了隨機(jī)現(xiàn)象某一局部結(jié)果發(fā)生的可能性有多 大，概率分布則要在滿足完備性 (窮舉 )和互不相容性 (互斥 )的前提下，回答隨機(jī)現(xiàn)象一共會(huì)出現(xiàn)多少種結(jié) 果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。 二、分布函數(shù) 但是我們要特別注意，上表實(shí)際上只對(duì)離散型隨機(jī)變 量適用。 類似地，以概率密度 為 縱坐標(biāo)，可以作出概率密度 曲線。很顯 然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對(duì)隨機(jī)變量的理論分布時(shí)，也要對(duì)隨機(jī)變量的 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)作概括性的描述，這就引出 數(shù)學(xué)期望 和 變異 數(shù) 這兩個(gè)概念。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來，但它具有隨機(jī)性。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號(hào)?，F(xiàn)在，我們要進(jìn)入系統(tǒng)討論統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)際步驟的階段。比如在這一章開頭，在硬幣重 復(fù)拋擲 n次的理想實(shí)驗(yàn)中，我們計(jì)算了成功次數(shù)為 x的 宏觀結(jié)果所具有的概率，得到二項(xiàng)分布。第二類 錯(cuò)誤則是， H0實(shí)際上是錯(cuò)的，卻沒有被否定。 在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中所規(guī)定的 小概率標(biāo)準(zhǔn)一般取為 α= α=。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本 的一個(gè)綜合指標(biāo)，但與我們后面參數(shù)估計(jì)中將要討論的統(tǒng)計(jì)量 有所不同，它不用作估測(cè)，而只用作檢驗(yàn)。實(shí)踐中常見的一類連續(xù)型隨機(jī)變 量，多數(shù)服從或近似服從正態(tài)分布。 （ 總之，正態(tài)分布曲線 的位置是由 μ 決定的，而正態(tài) 分布曲線的 “ 高、矮、胖、瘦 ” 由 σ 決定的。 [例 ] 設(shè)隨機(jī)變 量 X服從正態(tài)分布 N(168， 12178。由于總面積的一半是 ，因 P(X≤143)可以由 下面計(jì)算求得 P(X≤143)＝ ―P(0≤Z≤) ＝ ― ＝ ％ 這說明， X的取值小于或等于 143的概率大約是 2％。 這樣就提出一個(gè)問題：如果樣本統(tǒng)計(jì)量作為隨機(jī)變量，它的概率分布是什么樣呢？ 我們知道，概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均 結(jié)果的穩(wěn)定性的定理，是著名的 大數(shù)定理 。 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)應(yīng)用正態(tài)分布和二項(xiàng)分布有兩點(diǎn)區(qū)別：①抽樣分布 在這里是連續(xù)的而非離散的，否定域的大小可以和顯著性水平的 要求精確地一致起來。因此 Z 如果作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，應(yīng)該用 替換 X，用 替換 σ， μ不動(dòng)，因而有 。研究者懷疑屬于干部和知識(shí)分子的家庭抽得過 多。 注：當(dāng) σ未知時(shí)，只要樣本量很大，就可用 S 來代替 σ 。 換句話說 ， 我們計(jì)算出這 60個(gè)男生的平均身高是 ， 那么根據(jù)大數(shù)定理我們可以用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)全校大一男生的平均身高 。很顯然，如果我們?cè)?減一個(gè)（比如 ），現(xiàn)在估計(jì)全校大一男生的平均身高在 168~ 169厘米之間，那么估計(jì)到的把握就會(huì)一下子提高許多。 越大，樣本均值越分散。 。 對(duì)參數(shù) 的區(qū)間估計(jì)的步驟： 1. 首先從總體抽取一個(gè)樣本，根據(jù)收集的樣本資 料求出它 的均值。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計(jì)到的信心而在點(diǎn)估計(jì)兩邊設(shè)置的估計(jì)區(qū)間。 不過，這一參數(shù)估計(jì)只是點(diǎn)估計(jì)。 [解 ] 根據(jù)題意，可作如下的假設(shè)，并做雙側(cè)檢驗(yàn) H0： μ＝ 2330元 H1： μ≠2330元 因 α＝ ，查正態(tài)分布表得 Zα/2＝ ，故否定域 |Z|≥ 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Z＝ ≈ ＝ ＝ ＜ 1． 96 所以，不能認(rèn)為該單位人均月收入不是 2330元，即不能 認(rèn)為該統(tǒng)計(jì)報(bào)表有誤。問：該研究人員是否有理由懷 疑該樣本有偏估？（選用 α=） 第五節(jié) 總體均值和成數(shù)的單樣本檢驗(yàn) 1． σ已知，對(duì)總體均值的檢驗(yàn) 實(shí)際上是要檢驗(yàn)“隨機(jī)抽樣”這個(gè)零假設(shè) [解 ] 根據(jù)題意，可做如下假設(shè)，并做單側(cè)檢驗(yàn) 因 α=，查表得 Z =，故否定域?yàn)? 根據(jù)中心極限定理，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 計(jì)算得 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 Z的計(jì)算表明，樣本均值比總體均值大 2． 67個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)差（ ），超過了顯著性水平規(guī)定的臨界值，調(diào)查者應(yīng)該 否定 “ 隨機(jī)抽樣 ” 的零假設(shè)。研究者懷疑屬于干部和 知識(shí)分子的家庭抽得過多。很顯然，為了能使用現(xiàn)成的正態(tài)分布 表，關(guān)鍵是要從樣本資料中計(jì)算出在 N(0， 1)形式下的統(tǒng)計(jì)量 Z， 再根據(jù) Z是否落在否定城內(nèi)而對(duì)被檢驗(yàn)假設(shè)的取舍作出決定。但 是，大量隨機(jī)現(xiàn)象的穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在平均結(jié)果上， 同時(shí)也表現(xiàn)在分布上，這就是 中心極限定理 所要闡明 的內(nèi)容。 六、中心極限定理與正態(tài)檢驗(yàn) 一旦統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)進(jìn)入到推論統(tǒng)計(jì)，我們就必須同時(shí)與三 種不同的分布概念打交道，即總體分布、樣本分布、抽樣分 布。 總之，決定任意兩點(diǎn)間的面積都完全是可能的。由于正態(tài)曲線的優(yōu)良性 質(zhì)，這項(xiàng)工作可以卓有成效地完成：①經(jīng)過 X的標(biāo)準(zhǔn)分 ，可以將任何正態(tài)分布 N(μ， σ2)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0， 1)；②運(yùn)用分布函數(shù)的定義，并利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，通 過下式（分布函數(shù)）可以計(jì)算編制出正態(tài)分布表 (見附 4)。一般地講，若影響某一變量的隨機(jī) 因素很多，而每個(gè)因素所起的作用不太大且相互獨(dú)立， 則這個(gè)變量服從正態(tài)分布。在選擇否定域并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之后，我們完成最后一道 手續(xù)，即根據(jù)試驗(yàn)或樣本結(jié)果決定假設(shè)的取與舍。 如果抽樣分布是連續(xù)的，否定域可以建立在想 要建立的任何水平上，否定域的大小可以和顯著性 水平的要求一致起來（后面的正態(tài)檢驗(yàn)就如此）。對(duì)任何一個(gè)給定的檢驗(yàn)而 言，第一類錯(cuò)誤的危險(xiǎn)越小，第二類錯(cuò)誤的概率就越 大；反之亦然。由于數(shù)學(xué)上已經(jīng)取得的成果，實(shí)際上統(tǒng)計(jì)工作 者要做的這項(xiàng)工作往往并不是真的去求抽樣分布的數(shù) 學(xué)形式，而是根據(jù)具體需要，確定特定問題的統(tǒng)計(jì)檢 驗(yàn)應(yīng)該采用哪種分布的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)用表。取得抽樣結(jié)果，依據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)的方法就足 夠了。樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來，但 它具有隨機(jī)性。 和 都是為 μ服務(wù)的， E(X)是“期望” 數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)基本性質(zhì)： （ 1）常數(shù) c的期望等于該常數(shù)，即 E(c)＝ c （ 2）常數(shù) c與隨機(jī)變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積， 即 E(cX)＝ cE(X) （ 3）兩個(gè)隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和， 即 E (X+Y)＝ E(X)+ E(Y) （ 4）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積， 即 E(XY)＝ E(X) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 [例 ] 一家保險(xiǎn)公司在投保的 50萬元人壽保險(xiǎn)的保單中，估計(jì)每 1000 保單每年有 15個(gè)理賠，若每一保單每年的營(yíng)運(yùn)成本及利潤(rùn)的期 望值為 200元，試求每一保單的保費(fèi)。 (x) j 這樣一來，隨機(jī)變量 X取值在區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率等于概率密度曲線 下面 x1與 x2兩點(diǎn)之間面積，即 所以 有概率密 度的性質(zhì) 因?yàn)楦怕什豢赡苁秦?fù)的，且 為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對(duì)隨機(jī)變量的概率進(jìn)行研究 引入分布函數(shù) 的概念，它被定義為 有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機(jī)變量 X取值在 任意區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率，即 連續(xù)型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量