一元函數(shù)微分(編輯修改稿)
2025-08-22 13:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 導的函數(shù)： ，是一個由無窮級數(shù)(參見第十章無窮級數(shù))定義的非初等函數(shù)，由實變函數(shù)知識可以證明為連續(xù)函數(shù)，但處處不可微. 由此例也可體驗到曾統(tǒng)治古典數(shù)學研究的直觀方法是不可靠的.4 導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點可導，則函數(shù)所表示的曲線在點處切線的斜率存在，于是必有切線. 但其否命題不成立，即若函數(shù)在點不可導，函數(shù)所表示的曲線在點處未必不存在切線. 例如 ， ，但曲線在點處有鉛垂切線.5 導數(shù)與微分導數(shù)與微分都是討論Dx與Δy的關(guān)系的，所以它們之間應有內(nèi)在的聯(lián)系，教材第二章第五節(jié)的定理1()揭示了這種聯(lián)系. 但是導數(shù)與微分是源于兩個不同的實際背景：導數(shù)源于精確地計算函數(shù)的變化率，它把泛泛的平均變化率精確化到在一點的變化率，是變化率的數(shù)學抽象. 微分源于近似計算；實際應用中的一切計算幾乎都是需要近似計算的(這表明了微分應用的廣泛性)；微分表達式, 即表明只要知道在一點的函數(shù)值及其導數(shù)的值， 就可以用Δx的一次函數(shù)近似計算點附近的函數(shù)值, 誤差是比高級無窮小——這就可以把一個難以計算其值的函數(shù)(如超越函數(shù)), 局部近似地表達為便于計算數(shù)值的函數(shù)(一次函數(shù)). 遺憾的是，這里的近似度偏低（姑且稱之為一次近似），并且是個難于控制范圍的量(不能估計誤差的近似計算是不便于應用的)； 因此，微分用于近似計算有待于進一步發(fā)展, 一方面，向著提高近似度方向發(fā)展，達到任意次近似的精確程度；另一方面，要提供出估計誤差的方法. 導數(shù)與微分的運算具有雙重關(guān)系：一方面表示可由計算導數(shù)來計算微分；同時也表示可用微分之比 來表達導數(shù). 把導數(shù)這么個復雜的極限表示為兩個微分之比，賦予了導數(shù)理論極大的靈活性；在隨后的學習中也可體會到用微分反過來計算導數(shù)的便利. 正是微分與求導這種密切相關(guān)的運算關(guān)系，使得我們面臨具體問題時，可以審時度勢選擇采用求導或求微分的手段. 6 初等函數(shù)的導數(shù)初等函數(shù)是具有廣泛應用的一大類函數(shù)，是中學數(shù)學與高等數(shù)學的主要研究對象，又是研究非初等函數(shù)的基礎(chǔ). 有了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，又有了導數(shù)的四則運算法則和復合運算的求導法則，原則上已經(jīng)可以求初等函數(shù)在其可導點的導數(shù). ⑴ 初等函數(shù)的導數(shù)未必是初等函數(shù)，例如，是初等函數(shù)，且當時，當時, ,所以
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