2有限差分法及熱傳導(dǎo)數(shù)值計(jì)算(編輯修改稿)
2025-08-21 16:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????? yx 2 , 1 , , 1 , 1 21 24 mn wm n m n m n m n x Φ xqt t t t ??? ? ??? ? ?? ? ? ? ????? 邊界節(jié)點(diǎn) 離散方程的建立及代數(shù)方程的求解 (2) 外部角點(diǎn) 2, 1 , , 12122mn wm n m n m nx Φ xqt t t?????? ? ?? ? ? ?????1 , , , 1 ,22042m n m n m n m nmnwt t t tyxxyxy Φ xyq?????????????? ? ? ??????? yx如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅代表 1/4 個(gè)以 為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為 ，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為： xy??、wqx y qw (3) 內(nèi)部角點(diǎn) 22, 1 , , 1 , 1 1 ,213( 2 2 )62wm n m n m n m n m nxqxt t t t t??? ? ? ????? ? ? ? ? ?1 , , , 1 , , 1 ,1 , ,2302 4 2m n m n m n m n m n m nm n m nm n wt t t t t t xyxx y ytt y x y x yΦ qx? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? yx如圖所示內(nèi)部角點(diǎn)代表了 3/4 個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下有 x y qw 討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況： （ 1）絕熱邊界 即令上式 即可。 0wq ?（ 2） 值不為零 wq流入元體， 取正，流出元體， 取負(fù)使用上述公式 wqwq（ 3）對(duì)流邊界 此時(shí) ，將此表達(dá)式代入上述方程，并將此項(xiàng)中的 與等號(hào)前的 合并。對(duì)于 的情形有 )( ,nmfw tthq ??,mnt ,mntxy? ? ?（ a）平直邊界 （ b）外部角點(diǎn) （ c）內(nèi)部角點(diǎn) 2, 1 , , 1 , 122 2 2mnm n m n m n m n fh x x h xt t t t t? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????2, 1 , , 12212mnm n m n m n fh x x h xt t t t? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? 2 , 1 , , 1 1 , , 1 322 3 2 2 mnm n m n m n m n m n fh x x h xt t t t t t? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????2. 代數(shù)方程的求解方法 2） 迭代法： 先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計(jì)算收斂。 1） 直接解法 ： 通過(guò)有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。 迭代法目前應(yīng)用較多的是： 1 ）高斯 —— 賽德爾迭代法： 每次迭代計(jì)算，均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。 2 ）用雅可比迭代法： 每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。 設(shè)有一三元方程組 ： 1 1 1 1 2 2 1 3 3 12 1 1 2 2 2 2 3 3 23 1 1 3 2 2 3 3 3 3a t a t a t ba t a t a t ba t a t a t b? ? ?? ? ?? ? ?其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。 ,ijaib采用高斯 —— 賽德爾迭代法的步驟： （ 1）將三元方程變形為迭式方程： 1 1 1 2 2 1 3 3112 2 2 1 1 2 3 3223 3 3 1 1 3 2 2331()1()1()t b a t a tat b a t a tat b a t a ta? ? ?? ? ?? ? ?（ 2）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為 ：
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