11-測(cè)度與可測(cè)函數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-21 13:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 設(shè) E?R為任一無界點(diǎn)集，如果對(duì) ?x0, 有界集 (x, x)?E可測(cè) , 則稱 E是可測(cè)的 . 并記 注 : 1)無界點(diǎn)集的測(cè)度可能是有限值 , 也可能是無窮大 . 例如 , 有理數(shù)集 Q是無界的零測(cè)集 , E=(0,+?)是測(cè)度為 +?的可測(cè)集 . 2)對(duì)于無界集 , 上述定理 3的結(jié)論也成立 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 13頁(yè) 2） L可測(cè)集類與波賴爾 (Borel)集 定義 5 (1) R中所有 L可測(cè)集構(gòu)成的集合稱為 L可測(cè)集類 . (2) 對(duì) R中的開集和并集進(jìn)行至多可列次的交、并、差運(yùn)算所得到的集合稱為 波賴爾 (Borel)集 . 所有 波賴爾 (Borel)集都是 L可測(cè)集 . 注： 大多數(shù)集合都是 L可測(cè)集，但 L不可測(cè)集確實(shí)存在 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 14頁(yè) 二、點(diǎn)集上的勒貝格可測(cè)函數(shù) 定義 6 設(shè) E?R為任一可測(cè)集（有界或無界） , f(x)為定義在 E上的實(shí)值函數(shù) .若???R, E的子集 E(f ??)={x|f(x)??, x?E} 都是 L有限可測(cè)集 , 則稱 f (x)是 E上的 L可測(cè)函數(shù) E(f ??)=[x1,x2]?[x3,b] E(f ?)=[x4,x5] x o f (x) a b x1 x2 x3 ? ? x4 x5 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 15頁(yè) 2. 函數(shù)可測(cè)的充分必要條件 定理 4 f(x)在可測(cè)集 E上的可測(cè)函數(shù)，即 E(f ??)可測(cè) ???, ??R, E(??f?)={x|??f(x)? , x?E}可測(cè) ????R, E(f=?)={x|f(x)=?, x?E}可測(cè) ????R, E(f?)={x|f(x)?, x?E}可測(cè) ????R, E(f??)={x|f(x)??, x?E}可測(cè) ????R, E(f?)={x|f(x)?, x?E}可測(cè) 證 : (1) E(??f?)=E(f??)E(f??)可測(cè) E(f??)= ? E(??f?+n) (5) E(f=?)=E(f ??)E(f ?) (4) E(f?)=EE(f??) (3) E(f??)=EE(f?)=?{f?+1/n} (2) E(f?)=?E(f??+1/n), E(f??)=?E(f?－ 1/n) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 16頁(yè) 例 5 定義在 R上連續(xù)函數(shù)都是 L可測(cè)函數(shù) . f(x)連續(xù) ??x0?E(f?)?R, f(x)?f(x0) (x?x0) ??O(x0,?), 使 ?x?O(x0,?), 有 f(x)?，即 x? E(f?) (極限保號(hào)性） 證： ?x0?E(f?)?f(x0)? (只要證明 ???R, 集 E(f?)是開集 , 則它一定是可測(cè)集 ) ?f(x)是可測(cè)函數(shù) ?O(x0, ?)?E(f?)?x0 是 E(f?)的內(nèi)點(diǎn)， E(f?)是開集 ?E(f?)是可測(cè)集 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 17頁(yè) 例 6 區(qū)間 [0,1]上的狄里克來函數(shù) D(x)是 L可測(cè)函數(shù) . 證 : D(x)= 1, x為 [0,1]中的有理數(shù) 0, x為 [0,1]中的無理數(shù) 當(dāng) ?1時(shí) , E(D?)=?是可測(cè)集 , 當(dāng) ??0時(shí) , E(D?)=[0,1]是可測(cè)集 . 因此 , D(x)是 L可測(cè)函數(shù) 當(dāng) 0??1
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