11-測(cè)度與可測(cè)函數(shù)(參考版)
2025-07-28 13:50本頁(yè)面
【正文】 ???0, ?x?E, ?N=N(?), 當(dāng) m, nN時(shí) , 有 ?fm(x)fn(x)?? 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 24頁(yè) 定理 7 (連續(xù)性 ) 設(shè) {fn(x)}是 E上的 連續(xù)函數(shù)列 . 如果 {fn(x)}在 E上一致收斂于 f(x),則 極限 函數(shù) f(x)也 在 E上 連續(xù) . 2 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì) 定理 8（可積性）設(shè) {fn(x)}是區(qū)間 [a,b]上的 連續(xù)函數(shù)列 . 如果 {fn(x)}在 [a,b]上一致收斂于 f(x), 則 極限 函數(shù) f(x)在 E上區(qū)間 [a,b]上 可積 , 且 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 25頁(yè) 推論 設(shè) {fn(x)}是區(qū)間 [a,b]上的 可積函數(shù)列 . 如果 {fn(x)}在 [a,b]上一致收斂于f(x), 則 極限 函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上 可積 . 且 3）求極限與求微分（求導(dǎo)）可以交換次序 注 : 函數(shù)序列一致收斂時(shí) , 有 1）函數(shù)序列的連續(xù)性、可積性都 可以傳遞給極限函數(shù) 2）求極限與求積分可以交換次序 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 26頁(yè) 3 可測(cè)函數(shù)列的幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂及近一致收斂 定義 8 設(shè) {fn(x)}是可測(cè)集 E上的 可測(cè)函數(shù)列 ， f(x)是定義 在 E上的函數(shù) . 則 {fn(x)}在集 E上 幾乎處處收斂 于 f(x) 定理 9 設(shè) {fn(x)}是可測(cè)集 E上的 可測(cè)函數(shù)列 , 且 lim fn(x)=f(x) (.), 則 f(x)也是 E上的 可測(cè) 函數(shù) . 記作： fn(x)?f(x) (.)(n??) ??E0?E， m(E0)=0, 且當(dāng) x?E\E0時(shí) , fn(x)?f(x) (n??) ?m({x?limfn(x)?f(x), x?E})=0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 27頁(yè) ???0, lim m(E{x??fn(x)f(x)???})=0 {fn(x)}在集 E上 依測(cè)度收斂 于 f(x) ???0, ?0, ?N, 當(dāng) nN時(shí) , 有 m(E(?fn(x)f(x)???))? 定義 9 設(shè) {fn(x)}是可測(cè)集 E上的可測(cè)函數(shù)列， f(x)是定義 在 E上的可測(cè)函數(shù) . 則 定義 10 設(shè) {fn(x)}是可測(cè)集 E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列 , 如果 ??0, ?可測(cè)子集 E? ?E, 使 m(EE?)?, 且 fn(x)在 E? 上一致收斂于 f(x), 則稱 fn(x)在 E上 近一致收斂 于 f(x) . m 記作 fn(x)?f(x) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 28頁(yè) 定理 10 設(shè) {fn(x)}是可測(cè)集 E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列 , f(x)是定義在 E上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù) , 且 lim fn(x)=f(x) (.), 則 定理 11 (Riesz定理 ) 設(shè) m(E)?, 則 fn(x)在 E上依測(cè)度收斂于 f(x) ??子列 {fnk(x)}?{fn(x)}, 使 fnk(x)?f(x) (.) (k??) (2) fn(x)在 E上依測(cè)度收斂于 f(x). (勒貝格定理 ) (1) fn(x)在 E上近一致收斂于 f(x). (葉果洛夫定理 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 29頁(yè) {fn(x)}幾乎處處收斂于 f(x) {fn(x)}近一致收斂于 f(x) {fn(x)}依測(cè)度收斂于 f(x) {fn(x)}中存在幾乎處處收斂于 f(x)的子列 {fnk(x)} {fn(x)}處處收斂于
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