20xx---第八章--第四節(jié)--直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2025-08-20 04:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 － 4 y ＋ 20 ＝ 0. 或 x ＝ 0. 返回 法二： 當(dāng)直線 l 的斜率存在時， 設(shè)斜率為 k ，則直線 l 的方程為 y － 5 ＝ kx ， 即 y ＝ kx ＋ 5. 由????? y ＝ kx ＋ 5x2＋ y2＋ 4 x － 12 y ＋ 24 ＝ 0 消去 y 得 (1 ＋ k2) x2＋ (4 － 2 k ) x － 11 ＝ 0. ① 設(shè)方程 ① 的兩根為 x1， x2， 則??????? x1＋ x2＝2 k － 41 ＋ k2，x1x2＝－111 ＋ k2. 返回 由弦長公式得 1 ＋ k2?2 k － 41 ＋ k2 ?2－ 4 ? －111 ＋ k2 ? ＝ 4 3 ， 解得 k ＝34，此時直線方程為 3 x － 4 y ＋ 20 ＝ 0. 又斜率 k 不存在時也滿足題意，此時直線方程為 x ＝ 0. ∴ 所求直線的方程為 x ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 20 ＝ 0. 返回 (2) 設(shè)圓 C 過 P 點的弦的中點為 D ( x ， y ) ， 則 CD ⊥ PD ， ∴ CD PD ＝ 0. ∴ ( x ＋ 2 ， y － 6) ( x ， y － 5) ＝ 0. 化簡得所求軌跡方程為 x2＋ y2＋ 2 x － 11 y ＋ 30 ＝ 0. 返回 [ 悟一法 ] 圓的弦長的常用求法 ( 1) 幾何法：設(shè)圓的半徑為 r ，弦心距為 d ，弦長為 l ，則 (l2)2＝ r2－ d2 ( 2) 代數(shù)方法：運用韋達(dá)定理及弦長公式： | AB |＝ 1 ＋ k2. | x 1 － x 2 |＝ ? 1 ＋ k2? [ ? x 1 ＋ x 2 ?2－ 4 x 1 x 2 ] 返回 [ 通一類 ] 2 ． (2022 東莞模擬 ) 直線 y ＝ kx ＋ 3 與圓 ( x － 3)2＋ ( y － 2)2＝ 4 相交于 M ， N 兩點，若 | MN |≥ 2 3 ，則 k 的取值范圍是 ( ) A ． [ －34， 0] B ． ( － ∞ ，－34] ∪ [0 ，＋ ∞ ) C ． [ －33，33] D ． [ －23， 0] 返回 解析： 如圖，圓 C 的圓心為 C ( 3,2) ，作 CD ⊥ MN 于 D ， 則 | CD |＝|3 k ＋ 1|1 ＋ k2， 于是有 | MN |＝ 2| MD | ＝ 2 | C M |2－ | CD |2 ＝ 2 4 －9 k2＋ 6 k ＋ 11 ＋ k2 ≥ 2 3 ， 即 4 －9 k2＋ 6 k ＋ 11 ＋ k2 ≥ 3. 解得－34≤ k ≤ 0. 答案： A 返回 [做一題 ] [例 3] 已知圓 C： x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ 3＝ 0. (1)若不過原點的直線 l與圓 C相切，且在 x軸， y軸上的截距相等，求直線 l的方程； (2)從圓 C外一點 P( x， y)向圓引一條切線，切點為 M， O為坐標(biāo)原點，且有 |PM|＝ |PO|，求點 P的軌跡方程． 返回 [ 自主解答 ] 將圓 C 配方得 ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2)2＝ 2. 由題意知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零， 設(shè)直線方程為 x ＋ y － a ＝ 0 ， 由|－ 1 ＋ 2 － a |2＝ 2 ，得 | a － 1| ＝ 2 ，即 a ＝－ 1 或 a ＝ 3. ∴ 直線方程為 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 3 ＝ 0. 返回 (2)由于 |PC|2＝ |PM|2＋ |CM|2＝ |PM|2＋ r2， ∴ |PM|2＝ |PC|2－ r2. 又 ∵ |PM|＝ |PO|， ∴ |PC|2－ r2＝ |PO|2， ∴ (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2－ 2＝ x2＋ y2. ∴ 2x－ 4y＋ 3＝ 0即為所求． 返回 解： 將圓 C 配方得： ( x ＋ 1)2＋ ( y － 2)2＝ 2. 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時，設(shè)直線方程為 y ＝ kx ，由直線與圓相切得： y ＝ ( 2177。 6 ) x ； 當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時，設(shè)直線方程為 x ＋ y － a ＝ 0 ，由直線與圓相切得： x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 3 ＝ 0. 綜上可知，直線 l 的方程為 ( 2 ＋ 6 ) x － y ＝ 0 或 (2 － 6 ) x － y ＝ 0 或 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 3 ＝0. 若將本例 ( 1) 中 “ 不過原點 ” 的條件去掉，求直線 l 的方程． 返回 [ 悟一法 ] 圓的切線的求法 (1) 過圓上的一點 ( x0， y
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