線(xiàn)性代數(shù)新教材精彩案例(編輯修改稿)
2025-08-17 04:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 程兩邊作內(nèi)積消去 y，得 是平行四邊形 OAPB有向面積 . 稱(chēng)為二階行列式。 案例 二階行列式 :幾何定義 利用基本性質(zhì)計(jì)算 2 階行列式 利用基本性質(zhì)計(jì)算： = 案例 三階行列式 幾何定義： D=a (b c) 平行六面體有向體積 2022/8/18 案例 n階行列式定義 ? 3階算法： ? 各列取不同行元素 ai,bj,ck相乘再乘 d(ijk) =(1)s. d(ijk)是自然基列向量 ei,ej,ek排成的行列式 ,經(jīng) s次兩列互換為 d (123)=1. ? n 階行列式 D= ? 排列 經(jīng) s次對(duì)換變成 ? 則 ? 在 中將 1,2,… 依次往前一步步換到第 1,2, … 位 .則 s = 逆序數(shù) 2022/8/18 案例 行列式判定線(xiàn)性無(wú)關(guān) ? 方陣 A的行列式 (n維體積 ) D ≠ 0 ? 各列線(xiàn)性無(wú)關(guān) ?方程組 Ax=b有惟一解 。 ? 證明 : A 的各列 a1,…, an 線(xiàn)性相關(guān) ? ?某列 ai 是其余各列的線(xiàn)性組合 ? 將各列 aj的 – lj 倍加到第 i列 ? ? A的第 i列化為零 ? D=0. ? 可見(jiàn)： D≠0 ? 各列線(xiàn)性無(wú)關(guān) . ? 反過(guò)來(lái) : D=0 ?初等行變換化成階梯形 , 最后一行為零 ? 各列線(xiàn)性相關(guān) . 2022/8/18 案例 惟一解公式 (Crammer) ? 以 n=3為例 : ? 左邊第 2列乘 y,第 3列乘 z,各加到第 1列 ? 再提取公因子 x,得 xD=D1 x=D1/D. ? 類(lèi)似可得 y=D2/D, z=D3/D. 案例 秩與維數(shù)的惟一性 ? 向量組 A=(a1,…, a m) 的線(xiàn)性組合 B=(b1,…, bk) . km B 線(xiàn)性相關(guān) . ? 記 A的線(xiàn)性組合 b 為乘積形式 ? 則 ? (3) ? k個(gè) m維數(shù)組 Xj線(xiàn)性相關(guān) bj線(xiàn)性相關(guān) ? A,B互為線(xiàn)性組合且線(xiàn)性無(wú)關(guān) m=k 案例 矩陣乘法的引入 ? 矩陣 A=(a1,…, a m) 看成列向量組 ? 線(xiàn)性組合 a1x1+…+a nxn 寫(xiě)成 “ 行向量 ”A 乘
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